Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 186 стр.

186                                                                   Ãëàâà ñåäüìàÿ

ñ÷èòàòü ôóíêöèè   ϕ q äèôôåðåíöèðóåìûìè ôóíêöèÿìè ïàðàìåòðîâ.
     Â ãëàâå V ïðè âûâîäå ñîîòíîøåíèé îðòîãîíàëüíîñòè íåïðèâîäè-
ìûõ ïðåäñòàâëåíèé, à òàêæå ïðè âû÷èñëåíèè õàðàêòåðîâ íàì ÷àñòî ïðè-
õîäèëîñü ïðîâîäèòü ñóììèðîâàíèå ïî âñåì ýëåìåíòàì ãðóïïû.  ñëó÷àå
íåïðåðûâíîé ãðóïïû íå òîëüêî ÷èñëî ýëåìåíòîâ ãðóïïû ñòàíîâèòñÿ áåñ-
êîíå÷íûì, íî è ñàìè ýëåìåíòû ãðóïïû ðàñïðåäåëÿþòñÿ íåïðåðûâíî, è,
òàêèì îáðàçîì, ëþáàÿ òàêàÿ ñóììà áóäåò ïðåäñòàâëÿòü ñîáîé èíòåãðàë
ïî ïàðàìåòðàì ãðóïïû, íàïðèìåð ïî óãëó âðàùåíèÿ. Äëÿ ïðîèçâîëüíîé
íåïðåðûâíîé ãðóïïû òàêèå èíòåãðàëû ìîãóò ðàñõîäèòüñÿ, íî äëÿ áîëü-
øèíñòâà èíòåðåñíûõ ñ ôèçè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ íåïðåðûâíûõ ãðóïï ñî-
îòâåòñòâóþùèå èíòåãðàëû áóäóò êîíå÷íû. Äëÿ òàêèõ ãðóïï, íàçûâàåìûõ
                                    g
êîìïàêòíûìè (§4.3), âñå ñóììû      ∑ f (a ) (ñì. ãë. V), ìîæíî çàìåíèòü èí-
                                   a =1

òåãðàëàìè     ∫ ...∫ f (a1 ,..., ar )ρ (a1 ,..., ar )da1...dar ïî      ïàðàìåòðàì

a1 ,..., ar íåïðåðûâíîé ãðóïïû ñî ñïåöèàëüíî âûáðàííîé âåñîâîé ôóíê-
öèåé ρ (a1 ,..., a r ). ×èñëî g ýëåìåíòîâ ãðóïïû çàìåíÿåòñÿ îáú¸ìîì
ãðóïïû, êîòîðûé ïîëó÷àåòñÿ ïóò¸ì èíòåãðèðîâàíèÿ ïî âñåì çíà÷å-
íèÿì ïàðàìåòðîâ.
     Ñîîòíîøåíèÿ îðòîãîíàëüíîñòè è âñå ðåçóëüòàòû ãë. V áóäóò òåïåðü
ñïðàâåäëèâû è äëÿ êîìïàêòíûõ íåïðåðûâíûõ ãðóïï.  ÷àñòíîñòè, îïðå-
äåëåíèÿ òàêèõ ïîíÿòèé, êàê ïðåäñòàâëåíèå, íåïðèâîäèìîñòü è õàðàêòåð,
îñòàþòñÿ áåç èçìåíåíèÿ. Ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû è õàðàêòåð ïðåäñòàâëå-

íèÿ ÿâëÿþòñÿ òåïåðü íåïðåðûâíûìè ôóíêöèÿìè                          Pij(α ) (a1 ,..., a r ) ,

χ (α ) (a1 ,..., a r ) ïàðàìåòðîâ ãðóïïû. Äëÿ íåïðåðûâíîé ãðóïïû íå ñóùå-
ñòâóåò áîëüøå êîíå÷íîé òàáëèöû õàðàêòåðîâ; ïîäîáíî ñàìèì ýëåìåí-
òàì ãðóïïû êëàññû ñîïðÿæ¸ííûõ ýëåìåíòîâ ðàñïðåäåëåíû íåïðåðûâíî.
×èñëî íåýêâèâàëåíòíûõ íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé òåïåðü òîæå áåñ-
êîíå÷íî, õîòÿ ðàçìåðíîñòü íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé, êàê ïðàâèëî,
êîíå÷íà.
     Áåñêîíå÷íîå ÷èñëî íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé îçíà÷àåò, ÷òî
ðàçëîæåíèå ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè ïî ôóíêöèÿì, ïðèíàäëåæàùèì íå-
ïðèâîäèìûì ïðåäñòàâëåíèÿì, ìîæåò ñîäåðæàòü áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ÷ëå-
íîâ.  êà÷åñòâå ïðèìåðà òàêîãî ðàçëîæåíèÿ ìîæíî ðàññìîòðåòü êîìï-