Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 188 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

188 Ãëàâà ñåäüìàÿ
()
()
0
0
10,...,0,,0,...,0
lim
=
→
=
−
=
a
a
P
da
d
a
aP
X
qq
q
a
q
q
. (7.2.3)
Ðàññìîòðèì ÷àñòíûé ñëó÷àé îäíîïàðàìåòðè÷åñêîé ãðóïïû
G
ñ
çàêîíîì óìíîæåíèÿ
() () ()
bGaGcG
=
, ãäå
bac +=
, òî åñòü ñ àääèòèâ-
íûì ïàðàìåòðîì. Ìû ìîæåì çàïèñàòü îïåðàòîð
()
aP â âèäå
()
n
n
a
PaP
=
,
ãäå
n
- öåëîå ÷èñëî. Ïðè áîëüøèõ
n
ïàðàìåòð
n
a
ìàë, è â ïðåäåëå, ïðè
∞→n íàì äîñòàòî÷íî ñîõðàíèòü â ôîðìóëå (7.2.2) ëèøü ÷ëåíû íóëå-
âîãî è ïåðâîãî ïîðÿäêà, òîãäà
()
aX
n
n
q
eX
n
a
aX
=
+=
∞→
1lim
, (7.2.4)
ãäå ýêñïîíåíòà îïðåäåëÿåòñÿ êàê îáû÷íûé áåñêîíå÷íûé ðÿä:
∑
∞
=
=
0
!
n
nn
aX
n
Xa
e
.
Íà ýòîì ïðèìåðå ìû âûÿñíèëè, êàê ìîæíî ïîñòðîèòü êàæäûé îïå-
ðàòîð
()
aP èç èíôèíèòåçèìàëüíîãî îïåðàòîðà
X
. Òàêèì æå ïóò¸ì
ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå îïåðàòîð
()
aP ïîëíîñòüþ îïðåäå-
ëÿåòñÿ ïàðàìåòðàìè
q
a
è èíôèíèòåçèìàëüíûì îïåðàòîðîì
q
X
.
Åñëè ïðåäñòàâëåíèå P óíèòàðíî, òî îïåðàòîðû
q
X
àíòèýðìèòî-
âû, òî åñòü
qq
XX
−=
+
. Ýòî óòâåðæäåíèå ñðàçó ñëåäóåò èç (7.2.2), òàê êàê
ïàðàìåòðû
q
a
äåéñòâèòåëüíû. Èç óñëîâèÿ óíèòàðíîñòè ïðè ìàëûõ çíà-
÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ
q
a
ïîëó÷èì
188                                                                          Ãëàâà ñåäüìàÿ


                       P(0,...,0, aq ,0,...,0 )− 1     d          
        X q = lim                                    =       P(a ) .           (7.2.3)
              aq → 0              aq                   da q       a =0
      Ðàññìîòðèì ÷àñòíûé ñëó÷àé îäíîïàðàìåòðè÷åñêîé ãðóïïû G ñ
çàêîíîì óìíîæåíèÿ           G (c ) = G (a )G (b ) , ãäå c = a + b , òî åñòü ñ àääèòèâ-
íûì ïàðàìåòðîì. Ìû ìîæåì çàïèñàòü îïåðàòîð                      P(a ) â âèäå
                             n
                a 
      P(a ) =  P  ,
                n 
                                                               a
ãäå n - öåëîå ÷èñëî. Ïðè áîëüøèõ n ïàðàìåòð                      ìàë, è â ïðåäåëå, ïðè
                                                               n
n → ∞ íàì äîñòàòî÷íî ñîõðàíèòü â ôîðìóëå (7.2.2) ëèøü ÷ëåíû íóëå-
âîãî è ïåðâîãî ïîðÿäêà, òîãäà
                                       n
                        a 
        X q (a ) = lim 1 + X  = e aX ,                                         (7.2.4)
                   n→∞    n 
ãäå ýêñïîíåíòà îïðåäåëÿåòñÿ êàê îáû÷íûé áåñêîíå÷íûé ðÿä:
               ∞
                   an X n
      e aX = ∑            .
              n =0   n!
      Íà ýòîì ïðèìåðå ìû âûÿñíèëè, êàê ìîæíî ïîñòðîèòü êàæäûé îïå-
ðàòîð    P(a ) èç èíôèíèòåçèìàëüíîãî îïåðàòîðà X . Òàêèì æå ïóò¸ì
ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå îïåðàòîð                   P(a ) ïîëíîñòüþ îïðåäå-
ëÿåòñÿ ïàðàìåòðàìè          aq è èíôèíèòåçèìàëüíûì îïåðàòîðîì X q .
      Åñëè ïðåäñòàâëåíèå           P óíèòàðíî, òî îïåðàòîðû X q àíòèýðìèòî-

âû, òî åñòü   X q+ = − X q . Ýòî óòâåðæäåíèå ñðàçó ñëåäóåò èç (7.2.2), òàê êàê
ïàðàìåòðû     aq äåéñòâèòåëüíû. Èç óñëîâèÿ óíèòàðíîñòè ïðè ìàëûõ çíà-
÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ          aq ïîëó÷èì

Страницы