Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 190 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

190 Ãëàâà ñåäüìàÿ
âåòñòâóþùèé ïðîèçâåäåíèþ äâóõ ýëåìåíòîâ ãðóïïû, ñîâïàäàåò ñ ñóììîé
èíôèíèòåçèìàëüíûõ îïåðàòîðîâ äëÿ ñîìíîæèòåëåé:
()()
()
∑∑∑
++≈
+
+=
q
qqq
p
pp
q
qq
XbaXbxaPP
111ba
ïðè ìàëûõ ïàðàìåòðàõ
a
è
b
.
Ðàññìîòðèì ïðîèçâåäåíèå
()() () ()
baba
11
−−
PPPP :
()() () ()
[]
ε
++≈
∑
−−
pq
pqpq
XXbaPPPP
,
11
,1
baba
, (7.2.8)
ãäå
ε
- ÷ëåíû ïîðÿäêà ìàëîñòè > 2.
Èç ãðóïïîâûõ ñâîéñòâ ñëåäóåò, ÷òî
()() () () ()
∑
+≈=
−−
l
ll
XePPPPP
1
11
ebaba (7.2.9)
äëÿ íåêîòîðûõ ïàðàìåòðîâ e .
Ñðàâíèâàÿ (7.2.9) ñ (7.2.8), çàêëþ÷àåì, ÷òî ïàðàìåòðû e äîëæíû
áûòü ïîðÿäêà
ab
, à êîììóòàòîð
[ ]
pq
XX
, äîëæåí áûòü ëèíåéíîé êîì-
áèíàöèåé îïåðàòîðîâ
l
X
è ìû ïðèõîäèì ê ðàâåíñòâó (7.2.5), ñîãëàñíî
êîòîðîìó êîììóòàòîð ëþáûõ äâóõ èíôèíèòåçèìàëüíûõ îïåðàòîðîâ äîë-
æåí áûòü ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé èíôèíèòåçèìàëüíûõ îïåðàòîðîâ.
 ñèëó ñôîðìóëèðîâàííûõ òåîðåì èññëåäîâàíèå íåïðåðûâíûõ ãðóïï
ïðîùå èññëåäîâàíèÿ êîíå÷íûõ ãðóïï, òàê êàê ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ëèøü
àëãåáðó èíôèíèòåçèìàëüíûõ îïåðàòîðîâ, çàìåíÿÿ òàáëèöó óìíîæåíèÿ
Êýëè íàáîðîì ñòðóêòóðíûõ êîíñòàíò.
Èç ýòèõ òåîðåì òàêæå ñëåäóåò, ÷òî åñëè ïîäìíîæåñòâî èíôèíèòåçè-
ìàëüíûõ îïåðàòîðîâ íåêîòîðîé ãðóïïû
G
çàìêíóòî îòíîñèòåëüíî îïå-
ðàöèè êîììóòèðîâàíèÿ, òî åñòü åñëè êîììóòàòîð äâóõ ýëåìåíòîâ ïîä-
ìíîæåñòâà ïðåäñòàâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé ýëåìåíòîâ ýòîãî ïîä-
ìíîæåñòâà, òî ýòî ïîäìíîæåñòâî åñòü ìíîæåñòâî âñåõ èíôèíèòåçèìàëü-
íûõ îïåðàòîðîâ íåêîòîðîé ïîäãðóïïû ãðóïïû
G
.
Ãîâîðÿò, ÷òî íàáîð ôóíêöèé
()
α
ϕ
i
ïðåîáðàçóåòñÿ ïî íåïðèâîäèìî-
ìó ïðåäñòàâëåíèþ
()
α
P , åñëè ïðåîáðàçîâàííûå ôóíêöèè çàäàþòñÿ ñîîò-
íîøåíèåì (5.17.1):
190                                                                   Ãëàâà ñåäüìàÿ

âåòñòâóþùèé ïðîèçâåäåíèþ äâóõ ýëåìåíòîâ ãðóïïû, ñîâïàäàåò ñ ñóììîé
èíôèíèòåçèìàëüíûõ îïåðàòîðîâ äëÿ ñîìíîæèòåëåé:

                                                  
                                                  
                                                                      (
       P (a )P (b ) = 1 + ∑ a q x q 1 + ∑ b p X p  ≈ 1 + ∑ a q + bq X q   )
                          q             p                q

ïðè ìàëûõ ïàðàìåòðàõ a è b .

       Ðàññìîòðèì ïðîèçâåäåíèå       P(a )P(b )P −1 (a )P −1 (b ) :
                                                  [          ]
       P(a )P(b )P −1 (a )P −1 (b ) ≈ 1 + ∑ aq b p X q , X p + ε ,         (7.2.8)
                                        q, p

ãäå   ε - ÷ëåíû ïîðÿäêà ìàëîñòè > 2.
       Èç ãðóïïîâûõ ñâîéñòâ ñëåäóåò, ÷òî

       P(a )P(b )P −1 (a )P −1 (b ) = P(e ) ≈ 1 + ∑ el X l                 (7.2.9)
                                                  l
äëÿ íåêîòîðûõ ïàðàìåòðîâ e .
     Ñðàâíèâàÿ (7.2.9) ñ (7.2.8), çàêëþ÷àåì, ÷òî ïàðàìåòðû                e äîëæíû
áûòü ïîðÿäêà ab , à êîììóòàòîð        [X q , X p ] äîëæåí áûòü ëèíåéíîé êîì-
áèíàöèåé îïåðàòîðîâ        Xl è ìû ïðèõîäèì ê ðàâåíñòâó (7.2.5), ñîãëàñíî
êîòîðîìó êîììóòàòîð ëþáûõ äâóõ èíôèíèòåçèìàëüíûõ îïåðàòîðîâ äîë-
æåí áûòü ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé èíôèíèòåçèìàëüíûõ îïåðàòîðîâ.
     Â ñèëó ñôîðìóëèðîâàííûõ òåîðåì èññëåäîâàíèå íåïðåðûâíûõ ãðóïï
ïðîùå èññëåäîâàíèÿ êîíå÷íûõ ãðóïï, òàê êàê ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ëèøü
àëãåáðó èíôèíèòåçèìàëüíûõ îïåðàòîðîâ, çàìåíÿÿ òàáëèöó óìíîæåíèÿ
Êýëè íàáîðîì ñòðóêòóðíûõ êîíñòàíò.
     Èç ýòèõ òåîðåì òàêæå ñëåäóåò, ÷òî åñëè ïîäìíîæåñòâî èíôèíèòåçè-
ìàëüíûõ îïåðàòîðîâ íåêîòîðîé ãðóïïû G çàìêíóòî îòíîñèòåëüíî îïå-
ðàöèè êîììóòèðîâàíèÿ, òî åñòü åñëè êîììóòàòîð äâóõ ýëåìåíòîâ ïîä-
ìíîæåñòâà ïðåäñòàâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé ýëåìåíòîâ ýòîãî ïîä-
ìíîæåñòâà, òî ýòî ïîäìíîæåñòâî åñòü ìíîæåñòâî âñåõ èíôèíèòåçèìàëü-
íûõ îïåðàòîðîâ íåêîòîðîé ïîäãðóïïû ãðóïïû G .

       Ãîâîðÿò, ÷òî íàáîð ôóíêöèé       ϕ i(α ) ïðåîáðàçóåòñÿ ïî íåïðèâîäèìî-
ìó ïðåäñòàâëåíèþ      P (α ) , åñëè ïðåîáðàçîâàííûå ôóíêöèè çàäàþòñÿ ñîîò-
íîøåíèåì (5.17.1):

Страницы