Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 189 стр.

Ïðåäñòàâëåíèÿ íåïðåðûâíûõ ãðóïï âðàùåíèÿ SO(2) è SO(3)                     189


                                                      
     1 = P(a )P + (a ) ≈ 1 + ∑ a q X q 1 + ∑ a q X q+  ≈
                                                      
                             q             q          
                                                                     (7.2.5)
                                               
                                     (
                       ≈ 1 + ∑ a q X q + X q+ .)
                            q                 
     Ïðèðàâíèâàÿ ÷ëåíû ïåðâîãî ïîðÿäêà íóëþ, ïîëó÷èì

     X q+ = − X q .                                                  (7.2.6)

     Åñëè óìíîæèòü îïåðàòîðû             X q íà i = − 1 , îíè ñòàíóò ýðìèòî-
âûìè.
     Îñíîâíûå ñâîéñòâà èíôèíèòåçèìàëüíûõ îïåðàòîðîâ ìîæíî âûðà-
çèòü òðåìÿ òåîðåìàìè:
    Òåîðåìà 7.2.1. Åñëè äâà ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïïû G èìåþò îäèíàêîâûå
èíôèíèòåçèìàëüíûå îïåðàòîðû, òî ýòè ïðåäñòàâëåíèÿ ýêâèâàëåíòíû.
     Òåîðåìà 7.2.2. Äëÿ ëþáîãî ïðåäñòàâëåíèÿ         P ãðóïïû G ìíîæåñòâî
èíôèíèòåçèìàëüíûõ îïåðàòîðîâ         X q óäîâëåòâîðÿåò ïåðåñòàíîâî÷íûì
ñîîòíîøåíèÿì

     [X q , X p ] = cqpi X i ,                                       (7.2.7)
                                 i
ãäå ÷èñëîâûå êîýôôèöèåíòû cqp - ñòðóêòóðíûå êîíñòàíòû (ñì. §6.4), îäè-

íàêîâûå äëÿ âñåõ ïðåäñòàâëåíèé       P ãðóïïû G .
     Òåîðåìà 7.2.3. Ëþáîé íàáîð îïåðàòîðîâ           X q , îïðåäåë¸ííûõ â ïðî-
ñòðàíñòâå    L , îáðàçóåò àëãåáðó Ëè ïðåäñòàâëåíèÿ P ãðóïïû G â ïðî-
ñòðàíñòâå   L , åñëè îïåðàòîðû X q óäîâëåòâîðÿþò ïåðåñòàíîâî÷íûì ñî-
îòíîøåíèÿì (7.2.7).
     Ñìûñë òåîðåìû 7.2.1 çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ïðåäñòàâëåíèå ïîëíîñ-
òüþ îïðåäåëÿåòñÿ ñâîèìè èíôèíèòåçèìàëüíûìè îïåðàòîðàìè, ÷òî ÿâëÿåò-
ñÿ îáîáùåíèåì ðåçóëüòàòà (7.2.4) äëÿ îäíîïàðàìåòðè÷åñêîé ãðóïïû.
     Âòîðàÿ òåîðåìà 7.2.2 äà¸ò çàêîí óìíîæåíèÿ äëÿ èíôèíèòåçèìàëü-
íûõ îïåðàòîðîâ.  îáùåì ñëó÷àå èíôèíèòåçèìàëüíûé îïåðàòîð ñîîò-