Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 187 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

187Ïðåäñòàâëåíèÿ íåïðåðûâíûõ ãðóïï âðàùåíèÿ SO(2) è SO(3)
ëåêñíûé ðÿä Ôóðüå
()
∑
+∞
−∞=
=
m
im
m
ecf
ϕ
ϕ
äëÿ ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè f óãëà
ϕ
, òàê êàê (ñì. § 7.3) êàæäàÿ ôóíê-
öèÿ
ϕ
im
e
ïðåîáðàçóåòñÿ ïî îäíîìåðíîìó íåïðèâîäèìîìó ïðåäñòàâëå-
íèþ ãðóïïû
()
2SO .
§7.2. Èíôèíèòåçèìàëüíûå îïåðàòîðû
Íåïðåðûâíàÿ ãðóïïà
G
ðàçìåðíîñòè r ñ ïàðàìåòðàìè
r
aa
,...,
1
èìååò áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ýëåìåíòîâ, íî ïî÷òè âñå ñâîéñòâà å¸ îïðåäåëÿ-
þòñÿ êîíå÷íûì ÷èñëîì îïåðàòîðîâ, íàçûâàåìûõ èíôèíèòåçèìàëüíûìè.
Îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî ïàðàìåòðîâ
r
aa
,...,
1
÷åðåç
a
è ðàññìîòðèì ïðåä-
ñòàâëåíèå
()
aP ãðóïïû
G
â ïðîñòðàíñòâå L . Âûáåðåì ïàðàìåòðû òàê,
÷òîáû åäèíè÷íûé ýëåìåíò èìåë âñå 0=
q
a
, òî åñòü
()
10,...,0
=
P . (7.2.1)
Åñëè âñå
q
a
ìàëû, òî ñ òî÷íîñòüþ äî ÷ëåíîâ ïåðâîãî ïîðÿäêà ïî
ýòèì ïàðàìåòðàì
()
∑
=
+≈
r
q
qq
XaP
1
1
a , (7.2.2)
ãäå
q
X
- íåêîòîðûå ôèêñèðîâàííûå ëèíåéíûå îïåðàòîðû, íå çàâèñÿùèå
îò ïàðàìåòðîâ
q
a
è íàçûâàåìûå èíôèíèòåçèìàëüíûìè îïåðàòîðàìè
ïðåäñòàâëåíèÿ P . Â ñîîòâåòñòâèè ñ (7.2.2)
q
X
îïðåäåëÿþòñÿ êàê ÷àñò-
íûå ïðîèçâîäíûå:
Ïðåäñòàâëåíèÿ íåïðåðûâíûõ ãðóïï âðàùåíèÿ SO(2) è SO(3)                   187

ëåêñíûé ðÿä Ôóðüå
                   +∞
       f (ϕ ) =    ∑ cm e imϕ
                  m= −∞

äëÿ ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè         f óãëà ϕ , òàê êàê (ñì. § 7.3) êàæäàÿ ôóíê-
öèÿ   e imϕ ïðåîáðàçóåòñÿ ïî îäíîìåðíîìó íåïðèâîäèìîìó ïðåäñòàâëå-
íèþ ãðóïïû        SO(2 ) .



       §7.2. Èíôèíèòåçèìàëüíûå îïåðàòîðû

     Íåïðåðûâíàÿ ãðóïïà G ðàçìåðíîñòè r ñ ïàðàìåòðàìè a1 ,..., a r
èìååò áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ýëåìåíòîâ, íî ïî÷òè âñå ñâîéñòâà å¸ îïðåäåëÿ-
þòñÿ êîíå÷íûì ÷èñëîì îïåðàòîðîâ, íàçûâàåìûõ èíôèíèòåçèìàëüíûìè.
Îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî ïàðàìåòðîâ a1 ,..., a r ÷åðåç a è ðàññìîòðèì ïðåä-

ñòàâëåíèå   P(a ) ãðóïïû G â ïðîñòðàíñòâå L . Âûáåðåì ïàðàìåòðû òàê,
÷òîáû åäèíè÷íûé ýëåìåíò èìåë âñå        aq = 0 , òî åñòü
       P(0,...,0 ) = 1 .                                           (7.2.1)

       Åñëè âñå    aq ìàëû, òî ñ òî÷íîñòüþ äî ÷ëåíîâ ïåðâîãî ïîðÿäêà ïî
ýòèì ïàðàìåòðàì
                        r
       P(a ) ≈ 1 + ∑ aq X q ,                                      (7.2.2)
                     q =1

ãäå   X q - íåêîòîðûå ôèêñèðîâàííûå ëèíåéíûå îïåðàòîðû, íå çàâèñÿùèå
îò ïàðàìåòðîâ        aq è íàçûâàåìûå èíôèíèòåçèìàëüíûìè îïåðàòîðàìè
ïðåäñòàâëåíèÿ       P .  ñîîòâåòñòâèè ñ (7.2.2) X q îïðåäåëÿþòñÿ êàê ÷àñò-
íûå ïðîèçâîäíûå:

Страницы