Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 185 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

185Ïðåäñòàâëåíèÿ íåïðåðûâíûõ ãðóïï âðàùåíèÿ SO(2) è SO(3)
Ãëàâà VII
Ïðåäñòàâëåíèÿ íåïðåðûâíûõ ãðóïï
âðàùåíèÿ
()
2SO è
()
3SO
 ýòîé ãëàâå ìû ðàññìîòðèì ïðåäñòàâëåíèÿ íåïðåðûâíûõ ãðóïï
âðàùåíèÿ
()
2SO è
()
3SO , ââåä¸ííûå íàìè â ãë. IV, § 4.5, ï.ï. 8 è 9.
Íàïîìíèì, ÷òî âìåñòî îáîçíà÷åíèé
()
2SO è
()
3SO ìîæíî âñòðåòèòü
îáîçíà÷åíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ãðóïï â âèäå
2
ℜ è
3
ℜ .
§7.1. Îáùèå çàìå÷àíèÿ
Îáîçíà÷èì ýëåìåíòû íåïðåðûâíîé ãðóïïû
G
ñèìâîëîì
()
r
aaG
,...,
1
, ãäå âñå
r
íåïðåðûâíûõ äåéñòâèòåëüíûõ ïàðàìåòðîâ
q
a
ñóùåñòâåííû â òîì ñìûñëå, ÷òî ïðè èñïîëüçîâàíèè ìåíüøåãî ÷èñëà ïà-
ðàìåòðîâ óæå íåëüçÿ ðàçëè÷èòü ýëåìåíòû ãðóïïû äðóã îò äðóãà. ×èñëî
r íàçîâ¸ì ðàçìåðíîñòüþ ãðóïïû. Òàê êàê
()
r
aaG
,...,
1
åñòü ýëåìåíòû
ãðóïïû
G
, ìû ìîæåì ñîñòàâèòü ïðîèçâåäåíèå
( )()()
rrr
ccGbbGaaG
,...,,...,,...,
111
=
, (7.1.1)
ãäå
()
r
ccG
,...,
1
òîæå åñòü ýëåìåíò ãðóïïû
G
. Ìîæíî ïðåäïîëîæèòü,
÷òî ïàðàìåòðû
q
c
åñòü ôóíêöèè îò àðãóìåíòîâ
q
a
è
q
b
:
()
rrq
bbaac
,...,;,...,
11
ϕ
=
. (7.1.2)
Ïàðàìåòðû ãðóïïû îïðåäåëÿþòñÿ òàê, ÷òîáû åäèíè÷íîìó ýëåìåí-
òó ãðóïïû ñîîòâåòñòâîâàëè íóëåâûå çíà÷åíèÿ âñåõ ïàðàìåòðîâ. Áóäåì
Ïðåäñòàâëåíèÿ íåïðåðûâíûõ ãðóïï âðàùåíèÿ SO(2) è SO(3)                               185




           Ãëàâà VII
           Ïðåäñòàâëåíèÿ íåïðåðûâíûõ ãðóïï
           âðàùåíèÿ SO(2) è SO(3)
      Â ýòîé ãëàâå ìû ðàññìîòðèì ïðåäñòàâëåíèÿ íåïðåðûâíûõ ãðóïï
âðàùåíèÿ      SO(2) è SO(3), ââåä¸ííûå íàìè â ãë. IV, § 4.5, ï.ï. 8 è 9.
Íàïîìíèì, ÷òî âìåñòî îáîçíà÷åíèé                  SO(2) è SO(3) ìîæíî âñòðåòèòü
îáîçíà÷åíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ãðóïï â âèäå                       ℜ 2 è ℜ3 .


       §7.1. Îáùèå çàìå÷àíèÿ

      Îáîçíà÷èì ýëåìåíòû íåïðåðûâíîé ãðóïïû G ñèìâîëîì
G (a1 ,..., ar ) , ãäå âñå r íåïðåðûâíûõ äåéñòâèòåëüíûõ ïàðàìåòðîâ a q
ñóùåñòâåííû â òîì ñìûñëå, ÷òî ïðè èñïîëüçîâàíèè ìåíüøåãî ÷èñëà ïà-
ðàìåòðîâ óæå íåëüçÿ ðàçëè÷èòü ýëåìåíòû ãðóïïû äðóã îò äðóãà. ×èñëî
r íàçîâ¸ì ðàçìåðíîñòüþ ãðóïïû. Òàê êàê G (a1 ,..., ar ) åñòü ýëåìåíòû
ãðóïïû G , ìû ìîæåì ñîñòàâèòü ïðîèçâåäåíèå
      G (a1 ,..., a r )G (b1 ,..., br ) = G (c1 ,..., cr ) ,                   (7.1.1)

ãäå   G (c1 ,..., cr ) òîæå åñòü ýëåìåíò ãðóïïû G . Ìîæíî ïðåäïîëîæèòü,
÷òî ïàðàìåòðû c q åñòü ôóíêöèè îò àðãóìåíòîâ                      a q è bq :
      cq = ϕ (a1 ,..., ar ; b1 ,..., br ).                                     (7.1.2)
     Ïàðàìåòðû ãðóïïû îïðåäåëÿþòñÿ òàê, ÷òîáû åäèíè÷íîìó ýëåìåí-
òó ãðóïïû ñîîòâåòñòâîâàëè íóëåâûå çíà÷åíèÿ âñåõ ïàðàìåòðîâ. Áóäåì

Страницы