Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 191 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

191Ïðåäñòàâëåíèÿ íåïðåðûâíûõ ãðóïï âðàùåíèÿ SO(2) è SO(3)
() () ()
∑
=
j
jjii
PP
ααα
ϕϕ
,
ãäå
()
α
P
- îáû÷íûå ìàòðèöû ïðåäñòàâëåíèÿ.
Äëÿ íåïðåðûâíîé ãðóïïû äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî áåñêîíå÷íî
ìàëûå èçìåíåíèÿ ôóíêöèé
()
α
ϕ
i
çàäàþòñÿ ìàòðèöàìè èíôèíèòåçèìàëü-
íûõ îïåðàòîðîâ. Ïîäñòàâëÿÿ
∑
+=
q
qq
XaP
1
â óñëîâèå (5.17.1), ïîëó-
÷àåì äëÿ êàæäîãî èíäåêñà
q
()
()
()
()
∑
=
j
j
ji
qiq
XX
α
α
α
ϕϕ
, (7.2.10)
ãäå
()
()
α
ji
q
X
- ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû îïåðàòîðà
q
X
â ïðåäñòàâëåíèè
()
α
P
.
 ÷àñòíîñòè, åñëè ôóíêöèÿ
ϕ
èíâàðèàíòíà, òî îíà ïðåîáðàçóåòñÿ ïî
òðèâèàëüíîìó ïðåäñòàâëåíèþ, äëÿ êîòîðîãî
1
=
P
(ñì. §5.3, ï.2). Òîãäà
äëÿ âñåõ èíäåêñîâ
q
èíôèíèòåçèìàëüíûå îïåðàòîðû ðàâíû íóëþ, òî åñòü
0=
ϕ
q
X
.
Ïîêàæåì, ÷òî ìíîæåñòâî òðàíñôîðìàöèîííûõ îïåðàòîðîâ (§1.12)
ïðåîáðàçóåòñÿ ïî ïðåäñòàâëåíèþ
()
α
P
. Íàì íàäî ïîêàçàòü, ÷òî ïðè
ëþáîì èíäåêñå
q
áåñêîíå÷íî ìàëîå èçìåíåíèå îïåðàòîðîâ çàäà¸òñÿ òåìè
æå ñàìûìè èçâåñòíûìè ìàòðèöàìè:
[]
.,
11
1
∑
∑∑
+≈
≈
−
+≈=
′
−
q
qq
q
qq
q
qq
SXaS
XaSXaPSPS
(7.2.11)
Òàêèì îáðàçîì, áåñêîíå÷íî ìàëîå èçìåíåíèå îïåðàòîðîâ îïðåäå-
ëÿåòñÿ êîììóòàòîðîì è óñëîâèå, àíàëîãè÷íîå (7.2.10) äëÿ ëþáîãî q çà-
ïèøåòñÿ â âèäå
Ïðåäñòàâëåíèÿ íåïðåðûâíûõ ãðóïï âðàùåíèÿ SO(2) è SO(3)                              191

       Pϕ i(α ) = ∑ Pji(α )ϕ (jα ) ,
                       j

ãäå   P (α ) - îáû÷íûå ìàòðèöû ïðåäñòàâëåíèÿ.
       Äëÿ íåïðåðûâíîé ãðóïïû äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî áåñêîíå÷íî
ìàëûå èçìåíåíèÿ ôóíêöèé                   ϕ i(α ) çàäàþòñÿ ìàòðèöàìè èíôèíèòåçèìàëü-
íûõ îïåðàòîðîâ. Ïîäñòàâëÿÿ P = 1 +                   ∑ a q X q â óñëîâèå (5.17.1), ïîëó-
                                                         q

÷àåì äëÿ êàæäîãî èíäåêñà q

        X qϕ i(α ) =       ∑ (X q )(jiα )ϕ (jα ) ,                            (7.2.10)
                            j


ãäå   (X q )(jiα ) - ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû îïåðàòîðà Xq â ïðåäñòàâëåíèè P (α ) .
 ÷àñòíîñòè, åñëè ôóíêöèÿ                 ϕ èíâàðèàíòíà, òî îíà ïðåîáðàçóåòñÿ ïî
òðèâèàëüíîìó ïðåäñòàâëåíèþ, äëÿ êîòîðîãî P =1 (ñì. §5.3, ï.2). Òîãäà
äëÿ âñåõ èíäåêñîâ q èíôèíèòåçèìàëüíûå îïåðàòîðû ðàâíû íóëþ, òî åñòü

X qϕ = 0 .
       Ïîêàæåì, ÷òî ìíîæåñòâî òðàíñôîðìàöèîííûõ îïåðàòîðîâ (§1.12)
                                                     (α )
ïðåîáðàçóåòñÿ ïî ïðåäñòàâëåíèþ P     . Íàì íàäî ïîêàçàòü, ÷òî ïðè
ëþáîì èíäåêñå q áåñêîíå÷íî ìàëîå èçìåíåíèå îïåðàòîðîâ çàäà¸òñÿ òåìè
æå ñàìûìè èçâåñòíûìè ìàòðèöàìè:

                                                     
       S ′ = PSP −1 ≈ 1 + ∑ a q X q  S 1 − ∑ a q X q  ≈
                                                     
                          q                q                              (7.2.11)
                    ≈ S + ∑ aq X q , S .    [        ]
                                      q

     Òàêèì îáðàçîì, áåñêîíå÷íî ìàëîå èçìåíåíèå îïåðàòîðîâ îïðåäå-
ëÿåòñÿ êîììóòàòîðîì è óñëîâèå, àíàëîãè÷íîå (7.2.10) äëÿ ëþáîãî q çà-
ïèøåòñÿ â âèäå

Страницы