Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 193 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

193Ïðåäñòàâëåíèÿ íåïðåðûâíûõ ãðóïï âðàùåíèÿ SO(2) è SO(3)
Äëÿ îòûñêàíèÿ âîçìîæíûõ íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé ãðóïïû
()
2SO , íàäî íàéòè ôóíêöèè
()
aP , óäîâëåòâîðÿþùèå ñîîòíîøåíèÿì
()()()
bPaPbaP
=+
è
()
10
=
P .
Äèôôåðåíöèðóÿ ïåðâîå ñîîòíîøåíèå ïî ïàðàìåòðó
b
ïðè ôèêñè-
ðîâàííîì ïàðàìåòðå a ïîëó÷èì:
()()()
bPaPbaP
′
=+
′
, (7.3.1)
ãäå
()
()
db
bdP
bP
=
′
.
Ïîëàãàÿ
0=b
, ïîëó÷èì óðàâíåíèå
() () ()
0PaPaP
′
=
′
,
ðåøåíèå êîòîðîãî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
()
()
0Pa
eaP
′
=
,
åñëè
()
10
=
P .
Òàêèì îáðàçîì, íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïïû
()
2SO åñòü
ýêñïîíåíöèàëüíûå ôóíêöèè óãëà âðàùåíèÿ
a
. Êîýôôèöèåíò
()
0P
′
ìî-
æåò áûòü ëþáûì, íî ïðåäñòàâëåíèå áóäåò íåïðåðûâíûì, òî åñòü áóäåò
óäîâëåòâîðÿòü ðàâåíñòâó
() ( )
π
2
+=
aPaP , òîãäà, êîãäà êîýôôèöèåíò
()
0P
′
åñòü öåëîå ÷èñëî, óìíîæåííîå íà ìíèìóþ åäèíèöó. Ïîëàãàÿ
()
0Pim
′
=
ìû ìîæåì íåïðåðûâíûå íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóï-
ïû
()
2SO ïðåäñòàâèòü â âèäå
()
()
imam
eaP
−
=
, (7.3.2)
ãäå öåëûå ÷èñëà ,...2,1,0 ±±=m íóìåðóþò ïðåäñòàâëåíèÿ. Îòìåòèì, ÷òî
òàêèå ïðåäñòàâëåíèÿ óíèòàðíû. Âåêòîð, ïðåîáðàçóþùèéñÿ ïî íåïðèâî-
äèìîìó ïðåäñòàâëåíèþ
()
m
P
, îáîçíà÷èì ÷åðåç
m
e è ìîæåì äëÿ íåãî
çàïèñàòü
()
m
ima
m
eaP
ee
=
. (7.3.3)
Ïðåäñòàâëåíèÿ íåïðåðûâíûõ ãðóïï âðàùåíèÿ SO(2) è SO(3)                     193

       Äëÿ îòûñêàíèÿ âîçìîæíûõ íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé ãðóïïû
SO(2 ) , íàäî íàéòè ôóíêöèè P(a ), óäîâëåòâîðÿþùèå ñîîòíîøåíèÿì
       P(a + b ) = P(a )P(b ) è P (0 ) = 1 .
     Äèôôåðåíöèðóÿ ïåðâîå ñîîòíîøåíèå ïî ïàðàìåòðó b ïðè ôèêñè-
ðîâàííîì ïàðàìåòðå a ïîëó÷èì:
       P ′ (a + b ) = P (a )P ′ (b ) ,                               (7.3.1)

               dP (b )
ãäå   P′(b ) =         .
                db
       Ïîëàãàÿ b = 0 , ïîëó÷èì óðàâíåíèå
       P ′ (a ) = P (a )P ′ (0 ) ,
ðåøåíèå êîòîðîãî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
       P (a ) = e a P ′ (0 ) ,
åñëè   P (0 ) = 1 .
       Òàêèì îáðàçîì, íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïïû            SO(2 ) åñòü
ýêñïîíåíöèàëüíûå ôóíêöèè óãëà âðàùåíèÿ a . Êîýôôèöèåíò P ′(0 ) ìî-
æåò áûòü ëþáûì, íî ïðåäñòàâëåíèå áóäåò íåïðåðûâíûì, òî åñòü áóäåò
óäîâëåòâîðÿòü ðàâåíñòâó          P(a ) = P(a + 2π ) , òîãäà, êîãäà êîýôôèöèåíò
P ′(0 ) åñòü öåëîå ÷èñëî, óìíîæåííîå íà ìíèìóþ åäèíèöó. Ïîëàãàÿ
m = iP ′(0) ìû ìîæåì íåïðåðûâíûå íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóï-
ïû    SO(2 ) ïðåäñòàâèòü â âèäå
       P (m ) (a ) = e −ima ,                                        (7.3.2)
ãäå öåëûå ÷èñëà m = 0,±1,±2,... íóìåðóþò ïðåäñòàâëåíèÿ. Îòìåòèì, ÷òî
òàêèå ïðåäñòàâëåíèÿ óíèòàðíû. Âåêòîð, ïðåîáðàçóþùèéñÿ ïî íåïðèâî-
äèìîìó ïðåäñòàâëåíèþ             P (m ) , îáîçíà÷èì ÷åðåç e m è ìîæåì äëÿ íåãî
çàïèñàòü
       P(a )e m = e ima e m .                                        (7.3.3)

Страницы