Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 195 стр.

Ïðåäñòàâëåíèÿ íåïðåðûâíûõ ãðóïï âðàùåíèÿ SO(2) è SO(3)                           195

      R z (a )e x = cos ae x + sin ae y ,
      R z (a )e y = − sin ae x + cos ae y ,
èëè
                 (           )    (
      R z (a ) e x ± ie y = e m ia e x ± ie y . )                         (7.3.7)

      Òàêèì îáðàçîì âåêòîðû e x         + ie y ïðåîáðàçóþòñÿ ïî íåïðèâîäèìî-
ìó ïðåäñòàâëåíèþ ñ èíäåêñîì m = 1 , à âåêòîð               e x − ie y ïðåîáðàçóåòñÿ
ïî íåïðèâîäèìîìó ïðåäñòàâëåíèþ ñ èíäåêñîì m = − 1 . Äëÿ ïîëó÷åíèÿ
íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé ìû ââåëè êîìïëåêñíûå êîýôôèöèåíòû.
     2. Ðàññìîòðèì íà ïëîñêîñòè xy ôóíêöèè ψ (r , ϕ ), êîòîðûå áóäåì
ñ÷èòàòü ôóíêöèÿìè ïîëÿðíûõ êîîðäèíàò ëèøü äëÿ óäîáñòâà. Ïîëüçóÿñü
îïðåäåëåíèåì (5.3.4) èíäóöèðîâàííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ôóíêöèé, ïîëó-
÷èì
      P(R z (a ))ψ (r , ϕ ) = ψ (r , ϕ − a ),                             (7.3.8)

òî åñòü ôóíêöèÿ âèäà ψ (r , ϕ ) = ψ (r )e
                                                imϕ
                                                      ïðåîáðàçóåòñÿ ïî ïðåäñòàâëå-

íèþ   P (m ) :
      P(R z (a ))e imϕ = e im (ϕ −a ) = e −ima e imϕ .
     Ñëåäîâàòåëüíî, ðàçëîæåíèå ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè â êîìïëåêñíûé
ðÿä Ôóðüå
                      ∞
      ψ (r , ϕ ) =   ∑ψ m (r )e imϕ ,
                     m= −∞
ãäå
                       2π
      ψ m (r ) =       ψ (r , ϕ )e −imϕ dϕ ,
                  1
                 2π ∫0
åñòü ðàçëîæåíèå å¸ íà êîìïîíåíòû, êàæäàÿ èç êîòîðûõ ïðåîáðàçóåòñÿ ïî
îïðåäåë¸ííîìó íåïðèâîäèìîìó ïðåäñòàâëåíèþ                   P (m ) ãðóïïû SO(2 ) .