Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 196 стр.

196                                                               Ãëàâà ñåäüìàÿ

      7.3.4. Èíôèíèòåçèìàëüíûå îïåðàòîðû
      Ïîñòðîèì òåïåðü èíôèíèòåçèìàëüíûé îïåðàòîð ãðóïïû                 SO(2 ) .
Ìàòðèöà îïåðàòîðà      R z (a ) èìååò â ïðîñòðàíñòâå âåêòîðîâ e x è e y (§5.3,
ï.6) âèä:

                   cos a − sin a 
      R z (a ) =                 .
                   sin a cos a 
      Ïðè ìàëûõ óãëàõ a ýòà ìàòðèöà ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà êàê

           0 − a           0 − 1
      1 +       = 1 + a      
           a 0            1 0 
è, òàêèì îáðàçîì, äëÿ ìàòðèöû èíôèíèòåçèìàëüíîãî îïåðàòîðà               X áó-
äåì èìåòü:

            0 − 1
      X =        .
           1 0 
      Ðàññìîòðèì âûðàæåíèå (7.2.4). Ó÷èòûâàÿ, ÷òî         X 2 = −1 , ïîëó÷èì:

                     1         1           1
      e aX = 1 + aX + a 2 X 2 + a 3 X 3 + a 4 X 4 + ... =
                     2         6          24
              1        1                  1        
           = 1 − a 2 + a 4 + ... + X  a − a 3 + ... =
              2       24                  6        
                                  cos a − sin a 
            = cos a + X sin a =                 = R z (a ).
                                  sin a cos a 
      Ãåîìåòðè÷åñêè ïðåîáðàçîâàíèå âåêòîðà          r íà ïëîñêîñòè xy ïðè
ïîâîðîòå    R z (a ) îòíîñèòåëüíî îñè z â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè åñòü ïðè-
áàâëåíèå ê íåìó âåêòîðà äëèíîé       a r , íàïðàâëåííîãî ïåðïåíäèêóëÿðíî
ê âåêòîðó   r (Ðèñ. 7.3.1). Äëÿ ìàëûõ a èìååì:
      R z (a )r ≈ r + a [e z × r ],                                   (7.3.9)