Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 198 стр.

198                                                                 Ãëàâà ñåäüìàÿ

ìû óâèäèì, ÷òî äëÿ íåïðèâîäèìîãî ïðåäñòàâëåíèÿ              P (m ) ãðóïïû SO(2 )
ìàòðè÷íûé ýëåìåíò èíôèíèòåçèìàëüíîãî îïåðàòîðà                  X ðàâåí ïðîñòî
− im . Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ôóíêöèÿ ψ óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ
      Xψ = −imψ ,                                         (7.3.15)
òî îíà äîëæíà ïðåîáðàçîâûâàòüñÿ ïî íåïðèâîäèìîìó ïðåäñòàâëåíèþ
P (m ) ãðóïïû SO(2 ) .


        §7.4. Ãðóïïà SO(3)

       Îáîçíà÷èì âðàùåíèå â òð¸õìåðíîì ïðîñòðàíñòâå ÷åðåç              Rk (a ), ãäå
a - óãîë ïîâîðîòà (0 ≤ a ≤ 2π ), à k - åäèíè÷íûé âåêòîð, íàïðàâëåííûé
âäîëü îñè âðàùåíèÿ (§4.9). Âðàùåíèå çàâèñèò îò òð¸õ ïàðàìåòðîâ: óãëà
ïîâîðîòà a è äâóõ ñôåðè÷åñêèõ óãëîâ âåêòîðà              k . Ìû âîñïîëüçóåìñÿ
äðóãèìè ïàðàìåòðàìè, à èìåííî:
       a x = ak x , a y = ak y , a z = ak z ,                           (7.4.1)

ãäå   k q - òðè ñîñòàâëÿþùèå âåêòîðà k â êàêîé ëèáî ôèêñèðîâàííîé ñèñ-
òåìå êîîðäèíàò è ìû ìîæåì âìåñòî           Rk (a ) ââåñòè îáîçíà÷åíèå R(a ) .
     Ýëåìåíòàðíûå ãåîìåòðè÷åñêèå ñîîáðàæåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî ïðè
îïåðàöèè âðàùåíèÿ ïðîèçâîëüíûé âåêòîð r ïðåîáðàçóåòñÿ â ñîîòâåò-
ñòâèè ñ ðàâåíñòâîì
       Rk (a )r = cos ar + (1 − cos a )(r ⋅ k )k + sin a[k × r ],
è äëÿ ìàòðèöû       Rk (a ) â äåêàðòîâîì áàçèñå ìû ìîæåì çàïèñàòü:
       [Rk (a )]xx = cos a + (1 − cos a )k x2 ,
       [Rk (a )]yx = (1 − cos a )k y k x + k z sin a è òàê äàëåå.
     Ïðåîáðàçîâàíèå âðàùåíèÿ ñîäåðæèò êàê äëèíû, òàê è óãëû ìåæäó
âåêòîðàìè, òî åñòü ñîõðàíÿåò ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ëþáûõ äâóõ âåê-
òîðîâ   r1 è r2 .