Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 200 стр.

200                                                                                       Ãëàâà ñåäüìàÿ

       Ýòîò æå ðåçóëüòàò ìîæíî ïîëó÷èòü ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèé âåê-
òîðíîé àëãåáðû. Ðàññìîòðèì äåéñòâèå êîììóòàòîðà                                      [X   x       ]
                                                                                              , X y íà âåê-
òîð   r:
        [                ] [ [                     ]] [
        X x , X y r = e x × e y × r − e y × [e x × r ] .                ]                         (7.4.6)
       Èñïîëüçóÿ ïðàâèëî âåêòîðíî-âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ
        [a × [b × c]] = b ⋅ (a ⋅ c ) − c ⋅ (a ⋅ b )
ïðèâåä¸ì (7.4.6) ê âèäó
        [X   x           ]
                 , X y r = xe y − ye x = [e z × r ] = X z r .
       Â ñîîòâåòñòâèè ñ (7.4.3) òðè îïåðàòîðà                         X q îáðàçóþò âåêòîð, êîòî-
ðûé ïðè âðàùåíèÿõ ïðåîáðàçóåòñÿ êàê âåêòîð                               e q . Èíôèíèòåçèìàëüíûå
îïåðàòîðû ãðóïïû âðàùåíèé ñâÿçàíû ñ îïåðàòîðàìè óãëîâîãî ìîìåíòà
â êâàíòîâîé ìåõàíèêå, è, ñëåäîâàòåëüíî, ýòè ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíî-
øåíèÿ ñîâïàäàþò ñ ïåðåñòàíîâî÷íûìè ñîîòíîøåíèÿìè äëÿ òð¸õ êîìïî-
íåíò âåêòîðà óãëîâîãî ìîìåíòà.
       Ïîëó÷åííûå íàìè èíôèíèòåçèìàëüíûå îïåðàòîðû                                   X q àíòèýðìèòî-
âû, ïîýòîìó, â ñîîòâåòñòâèè ñ òðåáîâàíèÿìè §6.1, ìû ìîæåì ââåñòè îáîçíà-
÷åíèå    J q = iX q , ïðè÷¸ì, ïîä èíôèíèòåçèìàëüíûì îïåðàòîðîì ìû áóäåì
ïîíèìàòü êàê îïåðàòîð              X q , òàê è îïåðàòîð J q . Îïåðàòîðû J q ýðìèòîâû
è óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùèì ïåðåñòàíîâî÷íûì ñîîòíîøåíèÿì:
        [J   x       ]
                 , J y = iJ z ,   [J   y       ]
                                           , J z = iJ x ,    [J z , J x ] = iJ y ,                (7.4.7)
êîòîðûå ñîâïàäàþò ñ ïåðåñòàíîâî÷íûìè ñîîòíîøåíèÿìè äëÿ îïåðàòî-
ðîâ óãëîâîãî ìîìåíòà, äåë¸ííûõ íà                           h . Èç ñîîòíîøåíèÿ
        Xψ = −imψ                                                                                 (7.3.15)

ìû âèäèì, ÷òî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà                                 X z ðàâíû − im , òîãäà
ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè îïåðàòîðà                            J z áóäóò ÷èñëà m .
       Ðàññìîòðèì îïåðàòîð                      J ± , ÿâëÿþùèéñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé
îïåðàòîðîâ           J x è J y , à èìåííî