Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 201 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

201Ïðåäñòàâëåíèÿ íåïðåðûâíûõ ãðóïï âðàùåíèÿ SO(2) è SO(3)
yx
iJJJ
±=
±
. (7.4.8)
Ñîñòàâèì ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ îïåðàòîðîâ
±
J ñ îïåðà-
òîðîì
z
J
:
[]
( )
±±
±=±±=±=
JiJJJiJJJ
yxxyz
, . (7.4.9)
Èç ýòèõ ïåðåñòàíîâî÷íûõ ñîîòíîøåíèé ñëåäóåò, ÷òî åñëè ôóíêöèÿ
()
m
ψ
åñòü ñîáñòâåííûé âåêòîð îïåðàòîðà
z
J
, ïðèíàäëåæàùèé ïðåäñòàâ-
ëåíèþ
()
m
P
ãðóïïû
()
2SO , òî ôóíêöèÿ
()
mJ
ψ
±
ïðèíàäëåæèò ïðåäñòàâ-
ëåíèÿì
()
1
±
m
P
, è, ñëåäîâàòåëüíî, îïåðàòîðû
±
J ïðåîáðàçóþòñÿ ïî ïðåä-
ñòàâëåíèÿì
()
1
±
m
P
:
()()( )()()()
( )() ( ) ()()
.11
1
mJmmmJ
mJJmJJJmJJ
zzz
ψψ
ψψψ
±±
±±±±
±=±=
=±=±=
(7.4.10)
Îïåðàòîð
+
J íàçûâàåòñÿ ïîâûøàþùèì, à îïåðàòîð
−
J - ïîíèæàþ-
ùèì, òàê êàê ïåðâûé óâåëè÷èâàåò, à âòîðîé óìåíüøàåò ñîáñòâåííûå çíà-
÷åíèÿ îïåðàòîðà
z
J
íà åäèíèöó. Äàííîå ñâîéñòâî ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì
òîëüêî ïåðåñòàíîâî÷íûõ ñîîòíîøåíèé è ïîýòîìó ñïðàâåäëèâî äëÿ èí-
ôèíèòåçèìàëüíûõ îïåðàòîðîâ â ëþáîì ïðåäñòàâëåíèè ãðóïïû
()
3SO .
7.4.2. Íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ
 ñëó÷àå ñ ãðóïïîé
()
2SO ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ íóìåðó-
þòñÿ öåëûìè ÷èñëàìè m , à ìàòðè÷íûé ýëåìåíò ïðåäñòàâëåíèÿ ðàâåí
ima
e
−
. Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî ãðóïïà
()
2SO àáåëåâà, à èíôèíèòåçè-
ìàëüíûé îïåðàòîð åäèíñòâåííûé.
 îáùåì ñëó÷àå ãðóïïû îáëàäàþò öåëûì íàáîðîì èíôèíèòåçèìàëü-
íûõ îïåðàòîðîâ
q
X
óäîâëåòâîðÿþùèõ ïåðåñòàíîâî÷íûì ñîîòíîøåíèÿì
[ ]
i
i
pqqp
XcXX
=
,
. (7.2.7)
Äëÿ ãðóïïû
()
3SO ýòè ñîîòíîøåíèÿ çàäàíû ðàâåíñòâàìè (7.4.5)
Ïðåäñòàâëåíèÿ íåïðåðûâíûõ ãðóïï âðàùåíèÿ SO(2) è SO(3)                            201

     J ± = J x ± iJ y .                                                     (7.4.8)

     Ñîñòàâèì ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ îïåðàòîðîâ                      J ± ñ îïåðà-
òîðîì    Jz :
     [J z , J ± ] = iJ y ± J x = ±(J x ± iJ y ) = ± J ± .                   (7.4.9)
     Èç ýòèõ ïåðåñòàíîâî÷íûõ ñîîòíîøåíèé ñëåäóåò, ÷òî åñëè ôóíêöèÿ
ψ (m ) åñòü ñîáñòâåííûé âåêòîð îïåðàòîðà J z , ïðèíàäëåæàùèé ïðåäñòàâ-
ëåíèþ    P (m ) ãðóïïû SO(2 ) , òî ôóíêöèÿ J ±ψ (m ) ïðèíàäëåæèò ïðåäñòàâ-
ëåíèÿì    P (m ±1) , è, ñëåäîâàòåëüíî, îïåðàòîðû J ± ïðåîáðàçóþòñÿ ïî ïðåä-
ñòàâëåíèÿì       P (m ±1) :
     J z (J ±ψ (m )) = (J ± J z ± J ± )ψ (m ) = J ± (J z ± 1)ψ (m ) =
                                                                            (7.4.10)
                              = J ± (m ± 1)ψ (m ) = (m ± 1)(J ±ψ (m )).
     Îïåðàòîð J + íàçûâàåòñÿ ïîâûøàþùèì, à îïåðàòîð J − - ïîíèæàþ-
ùèì, òàê êàê ïåðâûé óâåëè÷èâàåò, à âòîðîé óìåíüøàåò ñîáñòâåííûå çíà-
÷åíèÿ îïåðàòîðà J z íà åäèíèöó. Äàííîå ñâîéñòâî ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì
òîëüêî ïåðåñòàíîâî÷íûõ ñîîòíîøåíèé è ïîýòîìó ñïðàâåäëèâî äëÿ èí-
ôèíèòåçèìàëüíûõ îïåðàòîðîâ â ëþáîì ïðåäñòàâëåíèè ãðóïïû                      SO(3).

        7.4.2. Íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ

                     SO(2 ) ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ íóìåðó-
      ñëó÷àå ñ ãðóïïîé
þòñÿ öåëûìè ÷èñëàìè m , à ìàòðè÷íûé ýëåìåíò ïðåäñòàâëåíèÿ ðàâåí
e − ima . Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî ãðóïïà SO(2 ) àáåëåâà, à èíôèíèòåçè-
ìàëüíûé îïåðàòîð åäèíñòâåííûé.
     îáùåì ñëó÷àå ãðóïïû îáëàäàþò öåëûì íàáîðîì èíôèíèòåçèìàëü-
íûõ îïåðàòîðîâ         X q óäîâëåòâîðÿþùèõ ïåðåñòàíîâî÷íûì ñîîòíîøåíèÿì
     [X   p        ]
              , X q = c ipq X i .                                           (7.2.7)

     Äëÿ ãðóïïû           SO(3) ýòè ñîîòíîøåíèÿ çàäàíû ðàâåíñòâàìè (7.4.5)

Страницы