Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 203 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

203Ïðåäñòàâëåíèÿ íåïðåðûâíûõ ãðóïï âðàùåíèÿ SO(2) è SO(3)
Êîýôôèöèåíòû
m
A
, êîòîðûå åù¸ íå âû÷èñëåíû, ââîäÿòñÿ äëÿ íîð-
ìèðîâêè âåêòîðîâ
m
e , âåêòîð
j
e ñ÷èòàåòñÿ íîðìèðîâàííûì. Âñå âåêòî-
ðû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (7.4.13) èìåþò ðàçíûå èíäåêñû m , â ñèëó ÷åãî
îíè ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíî-íåçàâèñèìûìè è âçàèìíî îðòîãîíàëüíûìè. Âåê-
òîðíîå ïðîñòðàíñòâî
L
äîëæíî áûòü èíâàðèàíòíûì îòíîñèòåëüíî ãðóï-
ïîâûõ ïðåîáðàçîâàíèé, è, ñëåäîâàòåëüíî, âñå âåêòîðû ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòè äîëæíû ïðèíàäëåæàòü ïðîñòðàíñòâó L . Åñëè ðàçìåðíîñòü ïðî-
ñòðàíñòâà L êîíå÷íà, òî êîíå÷íà è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (7.4.13), êîòî-
ðàÿ îáðûâàåòñÿ íà òîì øàãå, êîãäà â ðåçóëüòàòå ïðèìåíåíèÿ ïîíèæàþ-
ùåãî îïåðàòîðà ïîëó÷àåòñÿ íóëü, òî åñòü ïðè íåêîòîðîì öåëîì t
0=
−−
tj
J
e . (7.4.14)
Ìíîæåñòâî âåêòîðîâ
tjjj
−−
eee ,...,,
1
(7.4.15)
èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî äåéñòâèÿ îïåðàòîðîâ
z
J
è
−
J . Ïîêàæåì, ÷òî
îíî òàêæå èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî äåéñòâèÿ îïåðàòîðà
+
J . Â ýòîì
ñëó÷àå ìíîæåñòâî âåêòîðîâ (7.4.15) áóäåò èíâàðèàíòíûì îòíîñèòåëüíî
äåéñòâèÿ ëþáîãî ýëåìåíòà ãðóïïû
()
3SO è, ñëåäîâàòåëüíî, îíî îáðàçó-
åò áàçèñ íåêîòîðîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïïû
()
3SO .
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà èíâàðèàíòíîñòè ìíîæåñòâà (7.4.15) ïî îòíî-
øåíèþ ê äåéñòâèþ îïåðàòîðà
+
J ïîñòðîèì îïåðàòîð
()
2222
zyx
JJJ ++=⋅=
JJJ
. (7.4.16)
 ñèëó ïåðåñòàíîâî÷íûõ ñîîòíîøåíèé (7.4.5), ñ ó÷¸òîì òîãî, ÷òî
qq
iXJ
= îïåðàòîð
2
J óäîâëåòâîðÿåò ñîîòíîøåíèÿì
[ ]
0,
2
=
q
J
J (7.4.17)
ïðè zyxq ,,= . Òàêèì îáðàçîì â ñîîòâåòñòâèè ñ (2.7.13) ýòîò îïåðàòîð
ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì. Îïåðàòîð
2
J , êîòîðûé ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü
êàê öåëüíûé ñèìâîë, ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç ïîâûøàþùèé è ïîíèæàþ-
ùèé îïåðàòîðû:
Ïðåäñòàâëåíèÿ íåïðåðûâíûõ ãðóïï âðàùåíèÿ SO(2) è SO(3)                          203

      Êîýôôèöèåíòû                Am , êîòîðûå åù¸ íå âû÷èñëåíû, ââîäÿòñÿ äëÿ íîð-
ìèðîâêè âåêòîðîâ e m , âåêòîð e j ñ÷èòàåòñÿ íîðìèðîâàííûì. Âñå âåêòî-
ðû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (7.4.13) èìåþò ðàçíûå èíäåêñû m , â ñèëó ÷åãî
îíè ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíî-íåçàâèñèìûìè è âçàèìíî îðòîãîíàëüíûìè. Âåê-
òîðíîå ïðîñòðàíñòâî L äîëæíî áûòü èíâàðèàíòíûì îòíîñèòåëüíî ãðóï-
ïîâûõ ïðåîáðàçîâàíèé, è, ñëåäîâàòåëüíî, âñå âåêòîðû ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòè äîëæíû ïðèíàäëåæàòü ïðîñòðàíñòâó                  L . Åñëè ðàçìåðíîñòü ïðî-
ñòðàíñòâà L êîíå÷íà, òî êîíå÷íà è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (7.4.13), êîòî-
ðàÿ îáðûâàåòñÿ íà òîì øàãå, êîãäà â ðåçóëüòàòå ïðèìåíåíèÿ ïîíèæàþ-
ùåãî îïåðàòîðà ïîëó÷àåòñÿ íóëü, òî åñòü ïðè íåêîòîðîì öåëîì t
       J − e j −t = 0 .                                                   (7.4.14)
      Ìíîæåñòâî âåêòîðîâ
      e j , e j −1 ,..., e j −t                                           (7.4.15)

èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî äåéñòâèÿ îïåðàòîðîâ                J z è J − . Ïîêàæåì, ÷òî
îíî òàêæå èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî äåéñòâèÿ îïåðàòîðà J + . Â ýòîì
ñëó÷àå ìíîæåñòâî âåêòîðîâ (7.4.15) áóäåò èíâàðèàíòíûì îòíîñèòåëüíî
äåéñòâèÿ ëþáîãî ýëåìåíòà ãðóïïû               SO(3) è, ñëåäîâàòåëüíî, îíî îáðàçó-
åò áàçèñ íåêîòîðîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïïû SO(3).
     Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà èíâàðèàíòíîñòè ìíîæåñòâà (7.4.15) ïî îòíî-
øåíèþ ê äåéñòâèþ îïåðàòîðà                J + ïîñòðîèì îïåðàòîð
      J 2 = (J ⋅ J ) = J x2 + J y2 + J z2 .                               (7.4.16)
       ñèëó ïåðåñòàíîâî÷íûõ ñîîòíîøåíèé (7.4.5), ñ ó÷¸òîì òîãî, ÷òî
J q = iX q îïåðàòîð J 2 óäîâëåòâîðÿåò ñîîòíîøåíèÿì
      [J   2
                  ]
               , Jq = 0                                                   (7.4.17)
ïðè   q = x, y, z . Òàêèì îáðàçîì â ñîîòâåòñòâèè ñ (2.7.13) ýòîò îïåðàòîð
                                                2
ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì. Îïåðàòîð J , êîòîðûé ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü
êàê öåëüíûé ñèìâîë, ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç ïîâûøàþùèé è ïîíèæàþ-
ùèé îïåðàòîðû:

Страницы