Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 205 стр.

Ïðåäñòàâëåíèÿ íåïðåðûâíûõ ãðóïï âðàùåíèÿ SO(2) è SO(3)                                   205

      Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ñâîéñòâà íåïðèâîäèìîãî ïðåäñòàâëåíèÿ                          D.
      Íà îñíîâàíèè ðàâåíñòâ (7.4.20) è (7.4.14) ïîëó÷èì

                   (                       )       [                   ]
       J 2 e j −t = J − J + + J z2 + J z e j −t = ( j − t ) − ( j − t ) e j −t =
                                                          2


                 = ( j − t )( j − t − 1)e j −t .
      Ñðàâíèâàÿ ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå ñ ðàâåíñòâîì (7.4.22) íàõîäèì, ÷òî
       ( j − t )( j − t − 1) = j ( j + 1) ,
èëè
       (2 j − t )(t + 1) = 0 .
     Òàê êàê t - ïîëîæèòåëüíîå öåëîå ÷èñëî, 2 j = t è ÷èñëî j ìîæåò
áûòü ëèáî òîëüêî öåëûì, ëèáî ïîëóöåëûì. Ðàçìåðíîñòü ïðåäñòàâëåíèÿ
D ðàâíà òåïåðü 2 j + 1 è íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïïû SO(3)
ìîæíî îáîçíà÷èòü êàê              D ( j ) , ãäå j = 0, 1 ,1, 3 ,2,... , ïðè÷¸ì ðàçìåð-
                                                        2     2
íîñòü ýòîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ðàâíà                2 j + 1 , à âåêòîðû áàçèñà e m ìîæíî
âûáðàòü òàê, ÷òîáû îíè ïðåîáðàçîâûâàëèñü ïî íåïðèâîäèìûì ïðåäñòàâ-
ëåíèÿì     P (m ) ïîäãðóïïû SO(2 ) , ãäå
       m = j, j − 1, j − 2,...,1 − j,− j .
      Ïðè ñóæåíèè ãðóïïû              SO(3) íà å¸ ïîäãðóïïó SO(2 ) ðàçëîæåíèå
ïðåäñòàâëåíèÿ       D ( j ) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
                 m= j
       D( j) =   ∑ P(
                 m=− j
                         m)
                              .                                                    (7.4.24)

     Çàìåòèì, ÷òî ïîëó÷åííûå ïðåäñòàâëåíèÿ âñòðå÷àþòñÿ ëèøü ïðè
îïèñàíèè ñïèíà â êâàíòîâîé ìåõàíèêå è íå ïåðèîäè÷íû íà èíòåðâàëå
[0,2π ].
      Çàéì¸ìñÿ òåïåðü âûâîäîì ìàòðèöû èíôèíèòåçèìàëüíûõ îïåðàòî-
ðîâ   J q â ïðåäñòàâëåíèè D ( j ) . Ó÷ò¸ì, ÷òî îïåðàòîð J z â áàçèñå e m äè-
àãîíàëåí, à ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû äàþòñÿ ðàâåíñòâîì
       J z e m = me m .                                                            (7.4.25)