Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 207 стр.

Ïðåäñòàâëåíèÿ íåïðåðûâíûõ ãðóïï âðàùåíèÿ SO(2) è SO(3)                                                  207

          Ïîñòðîåíèå ìàòðèö                    Dm( j′m) (a x , a y , a z ) êîíå÷íûõ âðàùåíèé ñ ïàðà-
ìåòðàìè                 a x , a y , a z - ñëîæíàÿ àëãåáðàè÷åñêàÿ ïðîöåäóðà. Ìàòðè÷íûé
ýëåìåíò             Dm( j′m) îáû÷íî ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ôóíêöèè îò òð¸õ óãëîâ Ýé-
ëåðà, à íå ïàðàìåòðîâ                    ax , a y , az .

           7.4.3. Õàðàêòåðû

     Íåçàâèñèìî îò íàïðàâëåíèé îñåé âðàùåíèÿ âñå ïîâîðîòû íà îäèí
è òîò æå óãîë ëåæàò â îäíîì êëàññå ñîïðÿæåííûõ ýëåìåíòîâ ãðóïïû
SO(3) è õàðàêòåð âðàùåíèÿ çàâèñèò ëèøü îò óãëà ïîâîðîòà, òî åñòü äëÿ
âû÷èñëåíèÿ õàðàêòåðà íåïðèâîäèìîãî ïðåäñòàâëåíèÿ      D ( j ) ìîæíî âûá-
ðàòü ëþáóþ îñü âðàùåíèÿ. Âðàùåíèÿ R z (a ) âîêðóã îñè z íàèáîëåå óäîá-
íû, òàê êàê óæå õîðîøî íàìè èçó÷åíû.
          Íà îñíîâàíèè ðàçëîæåíèÿ (7.4.24) ïðåäñòàâëåíèÿ                                 D ( j ) íà íåïðèâî-
äèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ ïîäãðóïïû                                  SO(2 ) è â ñèëó ôîðìóë (7.3.2) è (7.3.4)
äëÿ õàðàêòåðîâ ãðóïïû                        SO(2 ) ìû ìîæåì âû÷èñëèòü õàðàêòåð ïðåäñòàâ-
ëåíèÿ          D ( j ) äëÿ ïîâîðîòà íà óãîë a :

                                         (                                       )
                    j
χ a( j ) =      ∑e
               m =− j
                          −ima
                                 = e −ija 1 + e ia + e 2ia + ... + e 2 jia =

                                           1                  1                   1        (7.4.29)
                                                                             sin  j + a
               (e                  )= e
                                           j +  ia          − j +  ia
        −ija        (2 j +1)ia
                                 −1        2
                                                         −e     2
                                                                            = 
    e                                                                                  2
=                                                                                         .
               e ia − 1                           1
                                                    ia
                                                               1
                                                              − ia                   1
                                              e   2
                                                         −e    2                sin a
                                                                                     2

     Äëÿ âåêòîðíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ                                      ( j = 1) , õàðàêòåð ïðåäñòàâëåíèÿ
áóäåò