Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 209 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

209Ïðåäñòàâëåíèÿ íåïðåðûâíûõ ãðóïï âðàùåíèÿ SO(2) è SO(3)
() ()
()()
=
−+++−
=
=
+
+
=
a
ajjajj
a
ajaj
j
a
j
a
2
1
sin2
cos1cos
2
1
sin
2
1
sin
2
1
sin
2
2121
2
21
21
χχ
()()
=
−++−
++
=
a
ajjajjaajj
2
1
sin2
coscos
2
1
sin
2
1
sin2
2
212121
,
2
1
sin
sinsin
2
1
sin
2
1
sin
2
21
21
a
ajaj
a
ajj
⋅
+
++
=
èëè
() () ( )
−
−
+
+=
2
1
2
1
21
2121
j
a
j
a
jj
a
j
a
j
a
χχχχχ
.
Ïîâòîðÿÿ ïîäîáíûå ðàññóæäåíèÿ, ïîëó÷èì
() () ( ) ( ) ( ) ( )
111
21212121
−−−++
++=
j
a
j
a
jj
a
jj
a
j
a
j
a
χχχχχχ
è òàê äàëåå. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî õàðàêòåð òðèâèàëüíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ
()
0
D
åñòü
()
1
0
=
a
χ
, ìû ïîñëå åù¸ 22
2
−j òàêèõ øàãîâ ïîëó÷èì ðàâåíñòâî
() () ( ) ( ) ( )
21212121
...
1
jj
a
jj
a
jj
a
j
a
j
a
−−++
+++=
χχχχχ
.
Ñðàâíèâàÿ ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ñ (7.4.32), íàõîäèì, ÷òî ïðè
()()
2121
jjijj
+≤≤−
êîýôôèöèåíòû 1=
i
m
, à ïðè äðóãèõ çíà÷åíèÿõ
i êîýôôèöèåíòû 0=
i
m
. Îêîí÷àòåëüíî, îòáðàñûâàÿ óñëîâèå
21
jj ≥ ,
Ïðåäñòàâëåíèÿ íåïðåðûâíûõ ãðóïï âðàùåíèÿ SO(2) è SO(3)                                       209


                                       1            1
                             sin j1 + a sin j2 + a
       χ a( j1 ) χ a( j2 ) = 
                                        2            2
                                                             =
                                              1
                                        sin 2 a
                                              2
                              − cos( j1 + j 2 + 1)a + cos( j1 − j2 )a
                           =                                          =
                                                    1
                                            2 sin 2 a
                                                    2

                           1
          2 sin  j1 + j 2 + a sin a − cos( j1 + j 2 )a + cos( j1 − j 2 )a
                                   1
        =                  2     2
                                                                            =
                                         2 1
                                    2 sin a
                                           2

                       1
        sin  j1 + j 2 + a
                              sin j1 a ⋅ sin j 2 a
       = 
                        2
                            +                      ,
                   1                  2 1
               sin a              sin a
                   2                     2
èëè
                                                     1          1
                                                 j1 −       j2 − 
       χ a( j1 ) χ a( j2 ) = χ a( j1 + j2 ) + χ a    2
                                                           χ a    2
                                                                        .
       Ïîâòîðÿÿ ïîäîáíûå ðàññóæäåíèÿ, ïîëó÷èì
       χ a( j1 ) χ a( j2 ) = χ a( j1 + j2 ) + χ a( j1 + j2 −1) + χ a( j1 −1) χ a( j2 −1)
è òàê äàëåå. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî õàðàêòåð òðèâèàëüíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ                             D (0 )
åñòü   χ a(0 ) = 1 , ìû ïîñëå åù¸ 2 j 2 − 2 òàêèõ øàãîâ ïîëó÷èì ðàâåíñòâî
       χ a( j1 ) χ a( j2 ) = χ a( j1 + j2 ) + χ a( j1 + j2 −1) + ... + χ a( j1 − j2 ) .
       Ñðàâíèâàÿ ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ñ (7.4.32), íàõîäèì, ÷òî ïðè
( j1 − j2 ) ≤ i ≤ ( j1 + j2 ) êîýôôèöèåíòû mi = 1 , à ïðè äðóãèõ çíà÷åíèÿõ
i êîýôôèöèåíòû mi = 0 . Îêîí÷àòåëüíî, îòáðàñûâàÿ óñëîâèå j1 ≥ j 2 ,

Страницы