Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 210 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

210 Ãëàâà ñåäüìàÿ
äëÿ (7.4.31) ìû ìîæåì çàïèñàòü:
() ()
()
()
∑
+=
−=
=⊗
21
21
21
jji
jji
i
jj
DDD
. (7.4.33)
Ìû âèäèì, ÷òî â ðàçëîæåíèè (7.4.33) êàæäîå ïðåäñòàâëåíèå
()
i
D
âñòðå÷àåòñÿ òîëüêî îäèí ðàç, â ðåçóëüòàòå ÷åãî ãðóïïó
()
3SO ìîæíî
ñ÷èòàòü ïðîñòî ïðèâîäèìîé.
Ïðèìåð 7.4.1.
Ðàññìîòðèì â êà÷åñòâå áàçèñà íåïðèâîäèìîãî ïðåäñòàâëåíèÿ
()
i
D
ãðóïïû
()
3SO òðè åäèíè÷íûõ âåêòîðà
zyx
eee ,, â îáû÷íîì òð¸õìåð-
íîì ïðîñòðàíñòâå. Ýòè âåêòîðû çàäàþò áàçèñ ïðåäñòàâëåíèÿ ñ
1
=
j
.
ßñíî, ÷òî òð¸õìåðíîå ïðîñòðàíñòâî ïîðîæäàåìîå ýòèìè âåêòîðàìè íå-
ïðèâîäèìî è òàêèì ïðåäñòàâëåíèåì áóäåò
()
1
D .
Âûáåðåì â êà÷åñòâå âåêòîðîâ áàçèñà
m
e ñëåäóþùèå ëèíåéíûå êîì-
áèíàöèè âåêòîðîâ:
2
1
yx
i
ee
e
+
−= ,
z
ee =
0
, (7.4.34)
2
1
yx
i
ee
e
−
=
−
.
Íà îñíîâàíèè ïðèìåðà 7.3.1 ìû ìîæåì ñäåëàòü âûâîä, ÷òî âåêòîðû
m
e ïðåîáðàçóþòñÿ ïî ïðåäñòàâëåíèÿì
()
m
P
ãðóïïû
()
2SO âðàùåíèé
âîêðóã îñè z .
Âûáåðåì îòíîøåíèÿ ôàçîâûõ ìíîæèòåëåé â ñîîòâåòñòâèè ñ óñëî-
âèÿìè Êîíäîíà-Øîðòëè (7.4.27) è ñ ó÷¸òîì (7.4.3) ïîñòðîèì èíôèíèòå-
çèìàëüíûå îïåðàòîðû.
[]
0
=×=
xxxx
X
eee ,
zxy
X
ee −= ,
yxz
X
ee = ,
[ ]
zyxyx
X
eeee
=×=
, 0=
yy
X
e ,
xyz
X
ee −= ,
210                                                                                  Ãëàâà ñåäüìàÿ

äëÿ (7.4.31) ìû ìîæåì çàïèñàòü:
                                i =( j1 + j2 )
      D ( j1 ) ⊗ D ( j2 ) =         ∑ D( ) .
                                i = j1 − j 2
                                                 i
                                                                                             (7.4.33)


      Ìû âèäèì, ÷òî â ðàçëîæåíèè (7.4.33) êàæäîå ïðåäñòàâëåíèå                                    D (i )
âñòðå÷àåòñÿ òîëüêî îäèí ðàç, â ðåçóëüòàòå ÷åãî ãðóïïó                                 SO(3) ìîæíî
ñ÷èòàòü ïðîñòî ïðèâîäèìîé.

      Ïðèìåð 7.4.1.
      Ðàññìîòðèì â êà÷åñòâå áàçèñà íåïðèâîäèìîãî ïðåäñòàâëåíèÿ                                    D (i )
ãðóïïû   SO(3) òðè åäèíè÷íûõ âåêòîðà e x , e y , e z â îáû÷íîì òð¸õìåð-
íîì ïðîñòðàíñòâå. Ýòè âåêòîðû çàäàþò áàçèñ ïðåäñòàâëåíèÿ ñ j = 1 .
ßñíî, ÷òî òð¸õìåðíîå ïðîñòðàíñòâî ïîðîæäàåìîå ýòèìè âåêòîðàìè íå-
ïðèâîäèìî è òàêèì ïðåäñòàâëåíèåì áóäåò                              D (1) .
      Âûáåðåì â êà÷åñòâå âåêòîðîâ áàçèñà                        e m ñëåäóþùèå ëèíåéíûå êîì-
áèíàöèè âåêòîðîâ:
               e x + ie y
      e1 = −                    ,
                     2
      e0 = e z ,                                                                             (7.4.34)

               e x − ie y
      e −1 =                .
                    2
      Íà îñíîâàíèè ïðèìåðà 7.3.1 ìû ìîæåì ñäåëàòü âûâîä, ÷òî âåêòîðû
e m ïðåîáðàçóþòñÿ ïî ïðåäñòàâëåíèÿì P (m ) ãðóïïû SO(2 ) âðàùåíèé
âîêðóã îñè z .
    Âûáåðåì îòíîøåíèÿ ôàçîâûõ ìíîæèòåëåé â ñîîòâåòñòâèè ñ óñëî-
âèÿìè Êîíäîíà-Øîðòëè (7.4.27) è ñ ó÷¸òîì (7.4.3) ïîñòðîèì èíôèíèòå-
çèìàëüíûå îïåðàòîðû.
      X x e x = [e x × e x ] = 0 ,                      X y e x = −e z ,      X zex = e y ,
      X x e y = [e x × e y ] = e z ,                 X ye y = 0 ,         X z e y = −e x ,

Страницы