Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 212 стр.

212                                                              Ãëàâà ñåäüìàÿ

êöèÿ   x 2 + y 2 + z 2 èíâàðèàíòíà è ïîðîæäàåò ïðåäñòàâëåíèå D (0 ) . Îñ-
òàâøèåñÿ ôóíêöèè îáðàçóþò áàçèñ ïðåäñòàâëåíèÿ               D (2 ) . Ïîêàæåì ýòî,
èñïîëüçóÿ âûðàæåíèå (7.3.14)

       Xz = −
                 ∂
                   =i
                      [r × p] = −iI ,
                ∂ϕ       h
                                   z


èëè, ñ ó÷¸òîì öèêëè÷åñêîé ïåðåñòàíîâêè èíäåêñîâ

                           ∂      ∂    ∂ 
       J z = iX z = −i       = i y − x  ,
                          ∂ϕ  ∂x       ∂y 

                      ∂    ∂ 
       J y = iX y = i x − z  ,
                      ∂z   ∂x 

                       ∂    ∂
       J x = iX x = i z − y  .
                       ∂y   ∂z 
       Ïîñòðîèì òåïåðü ïîíèæàþùèé è ïîâûøàþùèé îïåðàòîðû

                             ∂   ∂             ∂
       J + = J x + iJ y = z  + i  − (x + iy ) ,
                              ∂x ∂y            ∂z

                               ∂   ∂             ∂
       J − = J x − iJ y = − z  − i  + (x − iy ) .
                                ∂x ∂y            ∂z
       Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ
       ψ 2 = (x + iy ) = (x 2 − y 2 )+ 2ixy = r 2 e 2iϕ .
                      2


       Ó÷èòûâàÿ òîæäåñòâî

       ∂    ∂ 
        + i (x + iy ) = 0                                          (7.4.36)
        ∂x ∂y 
ïðèìåíèì ê ψ 2 ïîâûøàþùèé îïåðàòîð              J + è îïåðàòîð J z :