Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 214 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

214 Ãëàâà ñåäüìàÿ
ðèàíòíîé ôóíêöèåé
222
zyx ++ îíè ïîðîæäàþò øåñòèìåðíîå ïðî-
ñòðàíñòâî êâàäðàòè÷íûõ ôóíêöèé.
Êàæäàÿ ôóíêöèÿ
m
ψ
ïðîïîðöèîíàëüíà ñôåðè÷åñêîé ôóíêöèè
()
()
ϕθ
,
l
m
Y
ñ
2=l
:
()
()
ϕθ
π
ψ
,
15
32
22
mm
Yr
=
. (7.4.37)
Ïðè äðóãèõ çíà÷åíèÿõ
l
ìîæíî òàêæå íà÷àòü ñ ôóíêöèè
()
l
l
iyx +=
ψ
, êîòîðàÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ òîæäåñòâîì (7.4.36), îòâå÷àåò
ñòàðøåìó âåñó. Ïðèìåíÿÿ, êàê ìû ýòî äåëàëè âûøå, ïîíèæàþùèé îïå-
ðàòîð ê ôóíêöèè
l
ψ
, ïðè ïðàâèëüíîì âûáîðå íîðìèðîâî÷íûõ è ôàçî-
âûõ ìíîæèòåëåé ïîëó÷èì äëÿ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë m
()
()
()()
()
()
!2
1cos
cos
sin
!4
!12
1
2
ld
d
e
ml
mll
Y
l
l
ml
mim
m
l
m
−
+
−+
−=
+
θ
θ
θ
π
ϕ
,
(7.4.38)
à òàê æå ñîîòíîøåíèå
()
()
()
*
1
l
m
m
l
m
YY
−=
−
. (7.4.39)
 ÷àñòíîñòè,
()
()
θ
π
cos
4
12
0
l
l
P
l
Y
+
=
, (7.4.40)
ãäå
l
P
- ïîëèíîì Ëåæàíäðà.
Îòìåòèì, ÷òî âûðàæåíèå
()
()
()
ϕθ
ψ
,
l
m
l
Yr=
r
ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì
óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà 0
2
=∇
ψ
ïðè ëþáîì öåëîì
l
, ÷òî ìîæåò òàêæå áûòü
ïðèíÿòî â êà÷åñòâå îïðåäåëåíèÿ ñôåðè÷åñêèõ ôóíêöèé.
Âûïèøåì ïðåîáðàçîâàíèå ñôåðè÷åñêèõ ôóíêöèé ïðè âðàùåíèè â
ÿâíîì âèäå. Ïóñòü
θ
è
ϕ
- óãëîâûå êîîðäèíàòû âåêòîðà
r
, à
θ
′
è
ϕ
′
-
214                                                                      Ãëàâà ñåäüìàÿ

ðèàíòíîé ôóíêöèåé x + y + z îíè ïîðîæäàþò øåñòèìåðíîå ïðî-
                                    2    2    2

ñòðàíñòâî êâàäðàòè÷íûõ ôóíêöèé.
          Êàæäàÿ ôóíêöèÿ              ψ m ïðîïîðöèîíàëüíà ñôåðè÷åñêîé ôóíêöèè
Ym(l ) (θ ,ϕ ) ñ l = 2 :

                      32π 2 (2 )
          ψm =            r Ym (θ ,ϕ ) .                                       (7.4.37)
                       15
          Ïðè äðóãèõ çíà÷åíèÿõ l ìîæíî òàêæå íà÷àòü ñ ôóíêöèè

ψ l = (x + iy )l , êîòîðàÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ òîæäåñòâîì (7.4.36), îòâå÷àåò
ñòàðøåìó âåñó. Ïðèìåíÿÿ, êàê ìû ýòî äåëàëè âûøå, ïîíèæàþùèé îïå-
ðàòîð ê ôóíêöèè ψ l , ïðè ïðàâèëüíîì âûáîðå íîðìèðîâî÷íûõ è ôàçî-
âûõ ìíîæèòåëåé ïîëó÷èì äëÿ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë                      m
                 (2l + 1)(l − m )! imϕ m  d  (cos2 θ − 1)
                                                     l+m        l
  (l )
         = (− 1)                  e sin θ 
                  m
Ym                                                                                 ,
                   4π (l + m )!            d cosθ      2 l l!
                                                                               (7.4.38)
à òàê æå ñîîòíîøåíèå
          Y−(ml ) = (− 1) Ym(l )* .
                         m
                                                                               (7.4.39)

           ÷àñòíîñòè,

                      2l + 1
          Y0(l ) =           Pl (cosθ ),                                       (7.4.40)
                       4π
ãäå      Pl - ïîëèíîì Ëåæàíäðà.
          Îòìåòèì, ÷òî âûðàæåíèå             ψ (r ) = r lYm(l ) (θ ,ϕ ) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì
óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà ∇ ψ = 0 ïðè ëþáîì öåëîì l , ÷òî ìîæåò òàêæå áûòü
                                2

ïðèíÿòî â êà÷åñòâå îïðåäåëåíèÿ ñôåðè÷åñêèõ ôóíêöèé.
     Âûïèøåì ïðåîáðàçîâàíèå ñôåðè÷åñêèõ ôóíêöèé ïðè âðàùåíèè â
ÿâíîì âèäå. Ïóñòü            θ è ϕ - óãëîâûå êîîðäèíàòû âåêòîðà r , à θ ′ è ϕ ′ -

Страницы