Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 215 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

215Ïðåäñòàâëåíèÿ íåïðåðûâíûõ ãðóïï âðàùåíèÿ SO(2) è SO(3)
óãëîâûå êîîðäèíàòû âåêòîðà r
1−
R , òîãäà íà îñíîâàíèè îáùèõ îïðåäå-
ëåíèé (5.2.1) è (5.3.4) äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ ôóíêöèé ïîëó÷èì
()
()
()
()
()
()
()
()
()
∑
′
′′
=
′′
=
m
l
m
l
mm
l
m
l
m
YRDYYRD
ϕθϕθϕθ
,,, , (7.4.41)
òî åñòü ñôåðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ, àðãóìåíòàìè êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ ïðåîáðà-
çîâàííûå êîîðäèíàòû
θ
′
è
ϕ
′
, ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ñóììû ñôåðè÷åñ-
êèõ ôóíêöèé ïåðâîíà÷àëüíûõ êîîðäèíàò.
Îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå âðàùåíèÿ, â ñèëó óíèòàðíîñòè ìàòðèöû
ïðåäñòàâëåíèÿ, áóäåò âûãëÿäåòü òàê:
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
∑∑
′
′′
′
′
−
′
′′
=
′′
=
m
l
m
l
mm
m
l
m
l
mm
l
m
YRDYRDY
ϕθϕθϕθ
,,,
*1
.
(7.4.42)
Êîîðäèíàòû
θ
′
è
ϕ
′
ìîæíî ñ÷èòàòü êîîðäèíàòàìè âåêòîðà r â íîâîé
ñèñòåìå êîîðäèíàò, êîòîðàÿ ïîëó÷àåòñÿ èç èñõîäíîé äåéñòâèåì îïåðàòîðà
R
.
§7.5. Îïåðàòîð Êàçèìèðà
 ñëó÷àå ãðóïïû
()
2SO ôóíêöèè, ïðåîáðàçóþùèåñÿ ïî íåïðèâî-
äèìîìó ïðåäñòàâëåíèþ
()
m
P
ìîæíî îòîæäåñòâèòü ñ ñîáñòâåííûì âåêòî-
ðîì åäèíñòâåííîãî èíôèíèòåçèìàëüíîãî îïåðàòîðà
z
J
, îòâå÷àþùèì
ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì m .
 ñëó÷àå ãðóïïû
()
3SO ôóíêöèþ
()
jm
ψ
, ïðåîáðàçóþùóþñÿ â ñî-
îòâåòñòâèè ñ m -é ñòðîêîé ïðåäñòàâëåíèÿ
()
j
D
, ìîæíî òàêæå îòîæäåñòâèòü
ñ ñîáñòâåííûì âåêòîðîì èíâàðèàíòíîãî êâàäðàòè÷íîãî îïåðàòîðà
2222
zyx
JJJ
++=
J . (7.4.16)
 ñèëó (7.4.17) îïåðàòîð
2
J èíâàðèàíòåí è ïðè ñóæåíèè íà íåïðèâî-
äèìîå ïðåäñòàâëåíèå â ñîîòâåòñòâèè ñ ïåðâîé ëåììîé Øóðà äîëæåí áûòü
ïðîïîðöèîíàëåí åäèíè÷íîìó îïåðàòîðó. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðè ôèêñèðî-
âàííîì j âñå ôóíêöèè
()
jm
ψ
áóäóò ñîáñòâåííûìè âåêòîðàìè îïåðàòîðà
2
J , îòâå÷àþùèìè îäíîìó è òîìó æå ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ j , íå çàâè-
Ïðåäñòàâëåíèÿ íåïðåðûâíûõ ãðóïï âðàùåíèÿ SO(2) è SO(3)                                          215

                                            −1
óãëîâûå êîîðäèíàòû âåêòîðà R r , òîãäà íà îñíîâàíèè îáùèõ îïðåäå-
ëåíèé (5.2.1) è (5.3.4) äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ ôóíêöèé ïîëó÷èì
     D (R )Ym(l ) (θ ,ϕ ) = Ym(l ) (θ ′,ϕ ′) = ∑ Dm(l′)m (R )Ym(l′ ) (θ ,ϕ ) ,        (7.4.41)
                                                  m′
òî åñòü ñôåðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ, àðãóìåíòàìè êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ ïðåîáðà-
çîâàííûå êîîðäèíàòû θ ′ è ϕ ′ , ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ñóììû ñôåðè÷åñ-
êèõ ôóíêöèé ïåðâîíà÷àëüíûõ êîîðäèíàò.
     Îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå âðàùåíèÿ, â ñèëó óíèòàðíîñòè ìàòðèöû
ïðåäñòàâëåíèÿ, áóäåò âûãëÿäåòü òàê:
     Ym(l ) (θ ,ϕ ) = ∑ Dm(l′)m (R −1 )Ym(l′ ) (θ ′,ϕ ′) = ∑ Dm(l′)m* (R )Ym(l′ ) (θ ′,ϕ ′) .
                       m′                                       m′
                                                                                      (7.4.42)
     Êîîðäèíàòû θ ′ è ϕ ′ ìîæíî ñ÷èòàòü êîîðäèíàòàìè âåêòîðà    r â íîâîé
ñèñòåìå êîîðäèíàò, êîòîðàÿ ïîëó÷àåòñÿ èç èñõîäíîé äåéñòâèåì îïåðàòîðà R .


      §7.5. Îïåðàòîð Êàçèìèðà

      ñëó÷àå ãðóïïû          SO (2 ) ôóíêöèè, ïðåîáðàçóþùèåñÿ ïî íåïðèâî-
äèìîìó ïðåäñòàâëåíèþ  P (m ) ìîæíî îòîæäåñòâèòü ñ ñîáñòâåííûì âåêòî-
ðîì åäèíñòâåííîãî èíôèíèòåçèìàëüíîãî îïåðàòîðà J z , îòâå÷àþùèì
ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì m .
      ñëó÷àå ãðóïïû SO (3) ôóíêöèþ ψ ( jm ) , ïðåîáðàçóþùóþñÿ â ñî-
                                                         ( j)
îòâåòñòâèè ñ m -é ñòðîêîé ïðåäñòàâëåíèÿ D , ìîæíî òàêæå îòîæäåñòâèòü
ñ ñîáñòâåííûì âåêòîðîì èíâàðèàíòíîãî êâàäðàòè÷íîãî îïåðàòîðà
     J 2 = J x2 + J y2 + J z2 .                                                       (7.4.16)
                                        2
    Â ñèëó (7.4.17) îïåðàòîð J èíâàðèàíòåí è ïðè ñóæåíèè íà íåïðèâî-
äèìîå ïðåäñòàâëåíèå â ñîîòâåòñòâèè ñ ïåðâîé ëåììîé Øóðà äîëæåí áûòü
ïðîïîðöèîíàëåí åäèíè÷íîìó îïåðàòîðó. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðè ôèêñèðî-
âàííîì   j âñå ôóíêöèè ψ ( jm ) áóäóò ñîáñòâåííûìè âåêòîðàìè îïåðàòîðà
J 2 , îòâå÷àþùèìè îäíîìó è òîìó æå ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ j , íå çàâè-

Страницы