Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 216 стр.

216                                                                      Ãëàâà ñåäüìàÿ

ñèìîìó îò    m , òàê êàê â ñîîòâåòñòâèè ñ (7.4.22) ìû ìîæåì çàïèñàòü
       J ψ ( jm ) = j ( j + 1)ψ ( jm ) .
         2
                                                            (7.5.1)
       Èç (7.5.1) ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèþ, ïðèíàäëåæàùóþ ïðåäñòàâëåíèþ
D ( j ) , ìîæíî îïðåäåëèòü êàê ñîáñòâåííûé âåêòîð îïåðàòîðà J 2 , îòâå-
÷àþùèé ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ j ( j + 1) .
    Ïðîèëëþñòðèðóåì ýòî íà ïðèìåðå 7.4.1 èñïîëüçóÿ âûðàæåíèå (7.4.3)
è ïîëàãàÿ    J q = iX q

       J x2 r = − X x2r = −[e x × [e x × r ]] = −e x ⋅ (e x ⋅ r ) + r ⋅ (e x ⋅ e x ) =
             = − x e x + r = − x e x + x e x + y e y + ze z = y e y + ze z .

       J y2 r = − X y2 r = xe x + ze z ,     J z2 r = − X z2r = xe x + ye y .

       Òîãäà   J 2 r = (J x2 + J y2 + J z2 )r = 2r è îïåðàòîð J 2 ðàâåí óäâîåí-
íîìó åäèíè÷íîìó îïåðàòîðó, ÷òî ñîãëàñóåòñÿ ñ âûðàæåíèåì                     j ( j + 1) ïðè
j = 1.
                      2
     Îïåðàòîð J íàçûâàþò îïåðàòîðîì Êàçèìèðà. Äëÿ ëþáîé ãðóïïû
Ëè ìîæíî ïîñòðîèòü èç èíôèíèòåçèìàëüíûõ îïåðàòîðîâ ñêàëÿðíûé
êâàäðàòè÷íûé îïåðàòîð, íàçûâàåìûé îïåðàòîðîì Êàçèìèðà, êîòîðûé
ìîæåò áûòü îïðåäåë¸í êàê
       K = (g −1 )pq X p X q ,                                                  (7.5.2)

ãäå   g - ìàòðèöà ñ ìàòðè÷íûìè ýëåìåíòàìè g ij = cits c tjs , à cits - ñòðóêòóð-
íûå êîíñòàíòû èç ôîðìóëû (7.2.7).
     Äëÿ ïåðå÷èñëåíèÿ íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé ãðóïï, áîëüøèõ,
÷åì ãðóïïà SO (3) , ââîäèòñÿ íåñêîëüêî ÷èñåë ïîäîáíûõ ÷èñëó j , ÷èñëî
êîòîðûõ ðàâíî ðàíãó ãðóïïû. Ðàññìàòðèâàÿ êóáè÷åñêèå è áîëåå âûñîêèå
ñòåïåíè îïåðàòîðîâ         X q , ìû ìîæåì ïîñòðîèòü ìíîæåñòâî îïåðàòîðîâ
Êàçèìèðà äàííîé ãðóïïû. Âñå ÷èñëà, íóìåðóþùèå ïðåäñòàâëåíèÿ, ñâÿ-
çàíû ñ ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè îïåðàòîðîâ Êàçèìèðà.