Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 218 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

218 Ãëàâà âîñüìàÿ
() () ()
()
ygUxgUgf
=
ÿâëÿåòñÿ íåêîòîðîé îãðàíè÷åííîé ôóíêöèåé íà ãðóïïå
G
è äëÿ êîìïàê-
òíîé ãðóïïû
G
ñóùåñòâóåò èíâàðèàíòíûé èíòåãðàë (4.3.4)
() () ()
∫∫∫
==
GGG
dhhgfdhghfdhhf
,
ãäå g - ëþáîé ýëåìåíò ãðóïïû
G
.
Ïîëîæèì
()
() ()
()
∫
=
′
G
dhyhUxhUyx
. (8.1.2)
Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî ïðîèçâåäåíèå
()
′
yx óäîâëåòâîðÿåò ñîîò-
íîøåíèÿì (1.10.1), (1.10.2) è (1.10.8), òî åñòü, óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì äëÿ
ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ â êîìïëåêñíîì ïðîñòðàíñòâå. Ïî
îòíîøåíèþ ê ýòîìó ñêàëÿðíîìó ïðîèçâåäåíèþ âñå îïåðàòîðû
()
gU óíè-
òàðíû, òàê êàê, ñîãëàñíî ñîîòíîøåíèÿì (4.3.4) è (8.1.2),
() ()
()
()() ()()
()
() ()
()
() ()
()()
,
′
===
==
′
∫∫
∫
yxdhyhUxhUdhyhgUxhgU
dhygUhUxgUhUygUxgU
GG
G
òî åñòü óñëîâèå óíèòàðíîñòè (8.1.1) âûïîëíÿåòñÿ.
Ïóñòü òåïåðü
α
e - íåêîòîðûé áàçèñ, îðòîíîðìèðîâàííûé îòíîñè-
òåëüíî ñòàðîãî ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ (1.10.9)
( )
αββα
δ
=
ee ,
à
α
e
′
- íåêîòîðûé áàçèñ, îðòîíîðìèðîâàííûé îòíîñèòåëüíîãî íîâîãî
ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ
()
αββα
δ
=
′
′′
ee .
218                                                                 Ãëàâà âîñüìàÿ

       f (g ) = (U (g )x U (g )y )
ÿâëÿåòñÿ íåêîòîðîé îãðàíè÷åííîé ôóíêöèåé íà ãðóïïå G è äëÿ êîìïàê-
òíîé ãðóïïû G ñóùåñòâóåò èíâàðèàíòíûé èíòåãðàë (4.3.4)

       ∫ f (h )dh = ∫ f (gh )dh = ∫ f (hg )dh ,
       G               G                  G

ãäå   g - ëþáîé ýëåìåíò ãðóïïû G .
       Ïîëîæèì

       (x y )′ = ∫ (U (h )x U (h )y )dh .                                (8.1.2)
                   G


       Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî ïðîèçâåäåíèå            (x y )′ óäîâëåòâîðÿåò ñîîò-
íîøåíèÿì (1.10.1), (1.10.2) è (1.10.8), òî åñòü, óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì äëÿ
ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ â êîìïëåêñíîì ïðîñòðàíñòâå. Ïî
îòíîøåíèþ ê ýòîìó ñêàëÿðíîìó ïðîèçâåäåíèþ âñå îïåðàòîðû U (g ) óíè-
òàðíû, òàê êàê, ñîãëàñíî ñîîòíîøåíèÿì (4.3.4) è (8.1.2),

       (U (g )x U (g )y )′ = ∫ (U (h )U (g )x U (h )U (g )y )dh =
                                    G

                                                                   ′
       = ∫ (U (hg )x U (hg )y )dh = ∫ (U (h )x U (h )y )dh = (x y ) ,
           G                                  G

òî åñòü óñëîâèå óíèòàðíîñòè (8.1.1) âûïîëíÿåòñÿ.
       Ïóñòü òåïåðü             eα - íåêîòîðûé áàçèñ, îðòîíîðìèðîâàííûé îòíîñè-
òåëüíî ñòàðîãî ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ (1.10.9)

       (e e ) = δ
           α   β       αβ   ,

à   eα′ - íåêîòîðûé áàçèñ, îðòîíîðìèðîâàííûé îòíîñèòåëüíîãî íîâîãî
ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ

       (e′ e′ )′ = δ
           α   β       αβ       .

Страницы