Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 217 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

217Ãðóïïà SU(n) è å¸ ïðåäñòàâëåíèÿ
Ãëàâà VIII
Ãðóïïà
()
nSU è å¸ ïðåäñòàâëåíèÿ
 äàííîé ãëàâå ðàññìàòðèâàþòñÿ ïðåäñòàâëåíèÿ ñïåöàèëüíîé óíè-
òàðíîé ãðóïïû
()
nSU ñîñòàâëÿþùåé íàèáîëåå èçó÷åííûé êëàññ ïðåä-
ñòàâëåíèé, èìåþùèõ âàæíîå çíà÷åíèå â òåîðèè äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì,
êâàíòîâîé ìåõàíèêå è òåîðèè ïîëÿ.
§8.1. Óíèòàðíûå ïðåäñòàâëåíèÿ
Ïóñòü ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî
C
(§1.10, ï. 1.10.4) ïðåîáðàçóåò-
ñÿ ïî ïðåäñòàâëåíèþ U ãðóïïû
G
. Åñëè âñå îïåðàòîðû
()
gU ýòîãî
ïðåäñòàâëåíèÿ óíèòàðíû, òî òàêîå ïðåäñòàâëåíèå áóäåì íàçûâàòü óíè-
òàðíûì ïðåäñòàâëåíèåì. Ïîêàæåì, ÷òî äëÿ ëþáîé êîìïàêòíîé ãðóïïû
(§4.3) êàæäîå å¸ ïðåäñòàâëåíèå ýêâèâàëåíòíî íåêîòîðîìó óíèòàðíîìó
ïðåäñòàâëåíèþ. Ôàêòè÷åñêè, ìû äîêàæåì ñåé÷àñ òåîðåìó Ìàøêå, ñôîð-
ìóëèðîâàííóþ â §5.6. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû Ìàøêå âîñïîëüçóåì-
ñÿ òåì ôàêòîì, ÷òî äëÿ êîìïàêòíîé ãðóïïû ìîæíî ââåñòè èíâàðèàíòíîå
èíòåãðèðîâàíèå (4.3.4).
Ïîêàæåì, ïðåæäå âñåãî, ÷òî åñëè îïåðàòîðû
()
gU íåóíèòàðíû îò-
íîñèòåëüíî çàäàííîãî ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ
()
yx, òî ìîæíî ïåðåé-
òè ê òàêîìó ñêàëÿðíîìó ïðîèçâåäåíèþ
()
′
yx
, îòíîñèòåëüíî êîòîðîãî
âñå îïåðàòîðû
()
gU áóäóò óíèòàðíû, òî åñòü
() ()
()()
′
=
′
yxygUxgU
. (8.1.1)
Îòìåòèì, ÷òî äëÿ ëþáîé ïàðû âåêòîðîâ x è y âåëè÷èíà
Ãðóïïà SU(n) è å¸ ïðåäñòàâëåíèÿ                                         217




         Ãëàâà VIII
         Ãðóïïà SU (n ) è å¸ ïðåäñòàâëåíèÿ
    Â äàííîé ãëàâå ðàññìàòðèâàþòñÿ ïðåäñòàâëåíèÿ ñïåöàèëüíîé óíè-
òàðíîé ãðóïïû SU (n ) ñîñòàâëÿþùåé íàèáîëåå èçó÷åííûé êëàññ ïðåä-
ñòàâëåíèé, èìåþùèõ âàæíîå çíà÷åíèå â òåîðèè äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì,
êâàíòîâîé ìåõàíèêå è òåîðèè ïîëÿ.

     §8.1. Óíèòàðíûå ïðåäñòàâëåíèÿ

    Ïóñòü ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî C (§1.10, ï. 1.10.4) ïðåîáðàçóåò-
ñÿ ïî ïðåäñòàâëåíèþ U ãðóïïû G . Åñëè âñå îïåðàòîðû U (g ) ýòîãî
ïðåäñòàâëåíèÿ óíèòàðíû, òî òàêîå ïðåäñòàâëåíèå áóäåì íàçûâàòü óíè-
òàðíûì ïðåäñòàâëåíèåì. Ïîêàæåì, ÷òî äëÿ ëþáîé êîìïàêòíîé ãðóïïû
(§4.3) êàæäîå å¸ ïðåäñòàâëåíèå ýêâèâàëåíòíî íåêîòîðîìó óíèòàðíîìó
ïðåäñòàâëåíèþ. Ôàêòè÷åñêè, ìû äîêàæåì ñåé÷àñ òåîðåìó Ìàøêå, ñôîð-
ìóëèðîâàííóþ â §5.6. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû Ìàøêå âîñïîëüçóåì-
ñÿ òåì ôàêòîì, ÷òî äëÿ êîìïàêòíîé ãðóïïû ìîæíî ââåñòè èíâàðèàíòíîå
èíòåãðèðîâàíèå (4.3.4).
    Ïîêàæåì, ïðåæäå âñåãî, ÷òî åñëè îïåðàòîðû U (g ) íåóíèòàðíû îò-

íîñèòåëüíî çàäàííîãî ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ       (x y ), òî ìîæíî ïåðåé-
òè ê òàêîìó ñêàëÿðíîìó ïðîèçâåäåíèþ      (x y )′ , îòíîñèòåëüíî êîòîðîãî
âñå îïåðàòîðû   U (g ) áóäóò óíèòàðíû, òî åñòü

     (U (g )x U (g )y )′ = (x y )′ .                              (8.1.1)
    Îòìåòèì, ÷òî äëÿ ëþáîé ïàðû âåêòîðîâ         x è y âåëè÷èíà

Страницы