Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 219 стр.

Ãðóïïà SU(n) è å¸ ïðåäñòàâëåíèÿ                                         219

       Îáîçíà÷èì           A îïåðàòîð, ïåðåâîäÿùèé eα â eα′ :
       Aeα = eα′ .
       Åñëè
       x = xα eα , y = y α eα ,
òî
       Ax = xα eα′ , Ay = y α eα′
è, ñëåäîâàòåëüíî,

       (Ax Ay )′ = x       α
                               y α = (x y ) ,                     (8.1.3)
èëè

       (x y )′ = (A   −1
                           x A−1 y .)                             (8.1.4)
       Ïîëîæèì òåïåðü
       U ′(g ) = A−1U (g )A .                                     (8.1.5)
       Èç ñîîòíîøåíèé (8.1.3), (8.1.4) è (8.1.1.) ñëåäóåò, ÷òî

       (U ′(g )x U ′(g )y ) = (A U (g )Ax A U (g )Ay ) =
                                        −1      −1


                                        ′
       = (U (g )Ax U (g )Ay ) = (Ax Ay ) = (x y ),

òî åñòü âñå îïåðàòîðû U ′(g ) óíèòàðíû îòíîñèòåëüíî ñòàðîãî ñêàëÿðíî-
ãî ïðîèçâåäåíèÿ.
      Òàêèì îáðàçîì, êàæäîå ïðåäñòàâëåíèå êîìïàêòíîé ãðóïïû ýêâè-
âàëåíòíî óíèòàðíîìó ïðåäñòàâëåíèþ è äëÿ êîìïàêòíîé ãðóïïû Ëè ìû
ìîæåì îãðàíè÷èòüñÿ ëèøü óíèòàðíûìè ïðåäñòàâëåíèÿìè.


        §8.2. Íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ

       Ïóñòü íàì çàäàíî íåêîòîðîå ïðåäñòàâëåíèå          U ãðóïïû G â ïðî-
ñòðàíñòâå     C (n ) è ïóñòü C (k ) - íåêîòîðîå ïîäïðîñòðàíñòâî ïðîñòðàí-
ñòâà   C (n ) , òî åñòü íåêîòîðîå ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ èç C (n ) , êîòîðîå