Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 221 стр.

Ãðóïïà SU(n) è å¸ ïðåäñòàâëåíèÿ                                       221

ðàíñòâàõ C (k ) è C (l ) ñîîòâåòñòâåííî, ïðèâîäèìû, òî îíè ñíîâà ðàñ-
ùåïëÿþòñÿ íà íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ â îðòîãîíàëüíûõ ïîäïðîñ-
òðàíñòâàõ. Ïðèâîäèìîå ïðåäñòàâëåíèå, ðàñùåïëÿåìîå íà íåïðèâîäèìûå,
íàçûâàåòñÿ âïîëíå ïðèâîäèìûì. Íå âñÿêîå ïðèâîäèìîå ïðåäñòàâëåíèå
âïîëíå ïðèâîäèìî, íî ïðèâîäèìîå óíèòàðíîå ïðåäñòàâëåíèå âïîëíå ïðè-
âîäèìî.
     Äëÿ êîìïàêòíîé ãðóïïû Ëè êàæäîå ïðåäñòàâëåíèå ýêâèâàëåíòíî
óíèòàðíîìó, òî åñòü âïîëíå ïðèâîäèìîìó ïðåäñòàâëåíèþ.
     Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî íåïðèâîäèìûå óíèòàðíûå ïðåäñòàâëåíèÿ êîì-
ïàêòíîé ãðóïïû G êîíå÷íîìåðíû. Ïóñòü e - åäèíè÷íûé âåêòîð â ïðî-
ñòðàíñòâå   C (n ) , ïðåîáðàçóþùåìñÿ ïî óíèòàðíîìó íåïðèâîäèìîìó ïðåä-
ñòàâëåíèþ U ãðóïïû G . Â ñèëó óíèòàðíîñòè ïðåîáðàçîâàíèÿ           U (g )
ìû ìîæåì çàïèñàòü

     U (g )e =    (U (g )e U (g )e ) = (e e ) = e = 1 .
     Òàêèì îáðàçîì, îòîáðàæåíèå
     g → U (g )e
ÿâëÿåòñÿ îòîáðàæåíèåì ãðóïïû G â åäèíè÷íóþ ñôåðó ïðîñòðàíñòâà
C (n ) . Òàê êàê ãðóïïà êîìïàêòíà, òî ìíîæåñòâî âåêòîðîâ U (g )e òîæå
êîìïàêòíî. Èç ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà èçâåñòíî, ÷òî ëþáîå êîìïàêò-
íîå ìíîæåñòâî íà åäèíè÷íîé ñôåðå ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà ñîäåðæèòñÿ
â êîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èç íåïðèâîäèìîñòè
ïðåäñòàâëåíèÿ U ñëåäóåò, ÷òî     C (n ) ñîâïàäàåò ñ ïðîñòðàíñòâîì, ïîðîæ-
ä¸ííûì ìíîæåñòâîì âåêòîðîâ U (g )e , òî åñòü ñîâïàäàåò ñ ìíîæåñòâîì
âñåõ ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ âåêòîðîâ ñðåäè âåê-
òîðîâ U (g )e , ïðè÷¸ì ÷èñëî ýòèõ ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ âåêòîðîâ êîíå÷-

íî. Îòñþäà ñëåäóåò è êîíå÷íîñòü ïðîñòðàíñòâà C (n ) .
     Ìû óñòàíîâèëè, ÷òî ïðîñòðàíñòâî, ïðåîáðàçóþùååñÿ ïî íåïðèâî-
äèìîìó ïðåäñòàâëåíèþ     U , ïîðîæäàåòñÿ ìíîæåñòâîì âåêòîðîâ U (g )e
äëÿ âñåõ U (g ) è íåêîòîðîãî âåêòîðà e . Ðàññìîòðèì áîëåå ïîäðîáíî ýòî
ñâîéñòâî íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé.