Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 223 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

223Ãðóïïà SU(n) è å¸ ïðåäñòàâëåíèÿ
()
()
[]
T
T
gUgUg
1
1
−
−
=→
(8.3.3)
ÿâëÿåòñÿ òàêæå ïðåäñòàâëåíèåì ãðóïïû
G
. Äåéñòâèòåëüíî, ïîëàãàÿ
()
()
T
gUgU
1
~
−
=
, (8.3.4)
ïîëó÷èì
()()
()() ()()
[]
()
()
()
()
,
~
~~
21
1
21
1
1
1
2
1
1
1
2
1
2
1
121
ggUggUggU
gUgUgUgUgUgU
T
T
TTT
===
===
−
−−
−−−−
÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Ýòî ïðåäñòàâëåíèå íàçûâàåòñÿ êîíòðàãðå-
äèåíòíûì ê U ïðåäñòàâëåíèåì U
~
. Äëÿ óíèòàðíûõ ïðåäñòàâëåíèé êîí-
òðàãðåäèåíòíîå ê U ïðåäñòàâëåíèå U
~
ñîâïàäàåò ñ ñîïðÿæåííûì ê U
ïðåäñòàâëåíèåì U . Äåéñòâèòåëüíî, òàê êàê âñå îïåðàòîðû
()
gU
óíè-
òàðíû
() ()
()
1
1
−
−+
==
gUgUgU
, òî
()
()
T
gUgU
1
−
=
.
Ââåäåíèå êîíðàãðåäèåíòíûõ ïðåäñòàâëåíèé ïîçâîëÿåò îáðàçîâàòü
èíâàðèàíòû ãðóïï. Ïóñòü x - âåêòîð ñ êîìïîíåíòàìè
α
x , ïðåîáðàçóþ-
ùèéñÿ ïî ïðåäñòàâëåíèþ U ãðóïïû
G
, à
y
~
- êîâåêòîð ñ êîìïîíåíòàìè
α
y , ïðåîáðàçóþùèéñÿ ïî ïðåäñòàâëåíèþ U
~
, ïðè÷¸ì U ìîæåò áûòü
íåóíèòàðíûì. Ìû ìîæåì çàïèñàòü
()
β
α
β
α
xgUx
=
′
,
()
()
β
β
αβ
β
αα
ygUygUy
1
~
−
==
′
.
Îòñþäà ïîëó÷àåì
()
() ()
β
β
γ
β
γβ
γ
α
γ
β
αβ
α
α
xyxeUyxgUgUyxy
===
′′
−
1
,
òî åñòü ñóììà
α
α
xy èíâàðèàíòíà.
§8.4. Ãåíåðàòîðû ãðóïïû
()
nSU
è å¸ îñíîâíûå ïðåäñòàâëåíèÿ
Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî îáùèõ óòâåðæäåíèé äëÿ óíèòàðíûõ óíèìî-
äóëÿðíûõ ãðóïï, êîòîðûå íàì ïîíàäîáÿòñÿ ïðè áîëåå äåòàëüíîì ðàññìîò-
Ãðóïïà SU(n) è å¸ ïðåäñòàâëåíèÿ                                                  223

                    T
                         [
     g → U (g −1 ) = U (g )         ]
                                  −1 T
                                                                           (8.3.3)
ÿâëÿåòñÿ òàêæå ïðåäñòàâëåíèåì ãðóïïû G . Äåéñòâèòåëüíî, ïîëàãàÿ

     U (g ) = U (g −1 ) ,
     ~                 T
                                                                           (8.3.4)
ïîëó÷èì
             ~                  T          T
                                                [
     U (g1 )U (g 2 ) = U (g1−1 ) U (g 2−1 ) = U (g 2−1 )U (g1−1 ) =
     ~                                                           T
                                                                    ]
                      T
                              (
     = U (g 2−1 g1−1 ) = U (g1 g 2 )
                                    −1 T
                                            )
                                          = U (g1 g 2 ),
                                             ~

÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Ýòî ïðåäñòàâëåíèå íàçûâàåòñÿ êîíòðàãðå-
                                            ~
äèåíòíûì ê U ïðåäñòàâëåíèåì U . Äëÿ óíèòàðíûõ ïðåäñòàâëåíèé êîí-
                                   ~
òðàãðåäèåíòíîå êU ïðåäñòàâëåíèå U ñîâïàäàåò ñ ñîïðÿæåííûì ê U
ïðåäñòàâëåíèåì U . Äåéñòâèòåëüíî, òàê êàê âñå îïåðàòîðû U (g ) óíè-

        U (g ) = U (g ) = U (g −1 ), òî U (g ) = U (g −1 ) .
              +          −1                                     T
òàðíû
     Ââåäåíèå êîíðàãðåäèåíòíûõ ïðåäñòàâëåíèé ïîçâîëÿåò îáðàçîâàòü
èíâàðèàíòû ãðóïï. Ïóñòü x - âåêòîð ñ êîìïîíåíòàìè xα , ïðåîáðàçóþ-
ùèéñÿ ïî ïðåäñòàâëåíèþ U ãðóïïû G , à ~ y - êîâåêòîð ñ êîìïîíåíòàìè
                                           ~
 y α , ïðåîáðàçóþùèéñÿ ïî ïðåäñòàâëåíèþ U , ïðè÷¸ì U ìîæåò áûòü
íåóíèòàðíûì. Ìû ìîæåì çàïèñàòü

     x ′α = U (g )β x β , yα′ = U (g )α y β = U (g −1 )α y β .
                  α             ~ β                    β


     Îòñþäà ïîëó÷àåì

     yα′ x ′α = y β U (g −1 )α U (g )γ x γ = y β U (e )γ x γ = y β x β ,
                              β         α              β



òî åñòü ñóììà     yα xα èíâàðèàíòíà.

        §8.4. Ãåíåðàòîðû ãðóïïû SU (n )
              è å¸ îñíîâíûå ïðåäñòàâëåíèÿ

     Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî îáùèõ óòâåðæäåíèé äëÿ óíèòàðíûõ óíèìî-
äóëÿðíûõ ãðóïï, êîòîðûå íàì ïîíàäîáÿòñÿ ïðè áîëåå äåòàëüíîì ðàññìîò-

Страницы