Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 225 стр.

Ãðóïïà SU(n) è å¸ ïðåäñòàâëåíèÿ                                         225

ñòàâëåíèå. Ýòî ïðåäñòàâëåíèå íàçûâàåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíûì. Åãî èíôè-
íèòåçèìàëüíûå îïåðàòîðû ñîâïàäàþò ñ ãåíåðàòîðàìè ãðóïïû
     Yk = X k .                                                   (8.4.5)
     Äðóãèì íåïðèâîäèìûì ïðåäñòàâëåíèåì ñ íàèìåíüøåé ðàçìåðíîñ-
òüþ, îòëè÷íîé îò åäèíèöû, ñëóæèò êîíðàãðåäèåíòíîå ê ôóíäàìåíòàëü-
íîìó ïðåäñòàâëåíèå, ñîâïàäàþùåå ñ ñîïðÿæåííûì, èíôèíèòåçèìàëüíûå
îïåðàòîðû êîòîðîãî ðàâíû
     Yk = X k = − X kT .                                          (8.4.6)
     Äîãîâîðèìñÿ òåïåðü î íåêîòîðûõ îáîçíà÷åíèÿõ. Áàçèñíûå âåêòî-
ðû â ïðîñòðàíñòâå           C1 ñîñòîÿùåì èç îäíîãî ýêçåìïëÿðà ïðîñòðàíñòâà
C (n ) , êîòîðîå ïðåîáðàçóåòñÿ ïî ôóíäàìåíòàëüíîìó ïðåäñòàâëåíèþ,
               α
îáîçíà÷èì e ; α = 1,2,..., n .
     Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ýòè áàçèñíûå âåêòîðû óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ

     (e e ) = δ
       α   β
                   αβ   ,

òî åñòü îðòîíîðìèðîâàííû. Â ïðåäñòàâëåíèè U âåêòîð          eα ïðåâðàùàåò-
ñÿ â íåêîòîðûé âåêòîð         e′α
     e′α = Ueα = U βα e β .                                       (8.4.7)

     Ïóñòü ψ âåêòîð èç          C1 ñ êîìïîíåíòàìè ψ α
     ψ = ψ α eα .                                                 (8.4.8)

     Òîãäà â ïðåîáðàçîâàíèè U îí ïðåâðàùàåòñÿ â âåêòîð ψ ′ ñ êîìïî-

íåíòàìè ψ α′

     ψ α′ = U αβψ β .                                             (8.4.9)

     Â äàëüíåéøåì âåêòîðû â ïðîñòðàíñòâå C1 , ïðåîáðàçóþùåìñÿ ïî
ôóíäàìåíòàëüíîìó ïðåäñòàâëåíèþ, áóäåì íàçûâàòü êîâàðèàíòíûìè ñïè-
íîðàìè ïåðâîãî ðàíãà. Èòàê, êîìïîíåíòû êîâàðèàíòíûõ ñïèíîðîâ ïåð-
âîãî ðàíãà ïðåîáðàçóþòñÿ ïî çàêîíó (8.4.9).
     Ïî àíàëîãèè, â ïðîñòðàíñòâå         C 1 (ñîñòîÿùåì èç îäíîãî êîìïëåêòà