Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 224 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

224 Ãëàâà âîñüìàÿ
ðåíèè ãðóïï
()
2SU è
()
3SU .
 ãëàâå IV, §4.6, ï.7 ìû óñòàíîâèëè, ÷òî ðàçìåðíîñòü m ãðóïïû
()
nSU ðàâíà
1
2
−= nm
. (8.4.1)
Èç óñëîâèÿ
()
1,...,,det
21
=
m
U
ξξξ
äëÿ ìàòðèöû
()
m
U
ξξξ
,...,,
21
, áåñêîíå÷íî áëèçêîé ê åäèíèöå:
()
kkm
XU
ξξξξ
+≈
1,...,,
21
,
ñëåäóåò, ÷òî ñëåäû ãåíåðàòîðîâ
k
X
ðàâíû íóëþ:
0=
k
SpX
, (8.4.2)
à èç óñëîâèÿ óíèòàðíîñòè
()()
1
=
+
mm
UU
ξξξξξξ
,...,,,...,,
2121
ñëåäóåò, ÷òî ìàòðèöû
k
X
àíòèýðìèòîâû:
kk
XX
−=
+
(8.4.3)
(ñì. ôîðìóëû (7.2.2) è (7.2.6)). Ïðè óìíîæåíèè
k
X
íà 1−=i , îíè ñòà-
íóò ýðìèòîâûìè.
Ðàññìîòðèì òåïåðü íåêîòîðûå îñíîâíûå íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâ-
ëåíèÿ ãðóïïû
()
nSU . Ïðåäñòàâëåíèåì ñ íàèìåíüøåé ðàçìåðíîñòüþ ÿâ-
ëÿåòñÿ îäíîìåðíîå ïðåäñòàâëåíèå, â êîòîðîì âñåì ýëåìåíòàì
Ug =
ñî-
îòâåòñòâóåò óìíîæåíèå íà 1:
1→U
,
è, ñëåäîâàòåëüíî, âñå èíôèíèòåçèìàëüíûå îïåðàòîðû ðàâíû íóëþ:
0=
k
Y
. (8.4.4)
Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî îäíèì èç íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé ñ
íàèìåíüøåé ðàçìåðíîñòüþ, îòëè÷íîé îò 1, ÿâëÿåòñÿ ïðåäñòàâëåíèå
UU → .
 äàííîì ñëó÷àå ñàìà ãðóïïà
()
nSU ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê å¸ ïðåä-
224                                                                  Ãëàâà âîñüìàÿ

ðåíèè ãðóïï      SU (2 ) è SU (3) .
      Â ãëàâå IV, §4.6, ï.7 ìû óñòàíîâèëè, ÷òî ðàçìåðíîñòü               m ãðóïïû
SU (n ) ðàâíà
      m = n2 − 1.                                                          (8.4.1)
      Èç óñëîâèÿ
      det U (ξ1 , ξ 2 ,..., ξ m ) = 1
äëÿ ìàòðèöû      U (ξ1 , ξ 2 ,..., ξ m ) , áåñêîíå÷íî áëèçêîé ê åäèíèöå:
      U (ξ 1 , ξ 2 ,..., ξ m ) ≈ 1 + ξ k X k ,
ñëåäóåò, ÷òî ñëåäû ãåíåðàòîðîâ              X k ðàâíû íóëþ:
      SpX k = 0 ,                                                          (8.4.2)
à èç óñëîâèÿ óíèòàðíîñòè
      U (ξ1 , ξ 2 ,..., ξ m ) U (ξ1 , ξ 2 ,..., ξ m ) = 1
                            +



ñëåäóåò, ÷òî ìàòðèöû            X k àíòèýðìèòîâû:
      X k+ = − X k                                                         (8.4.3)

(ñì. ôîðìóëû (7.2.2) è (7.2.6)). Ïðè óìíîæåíèè X k íà i = − 1 , îíè ñòà-
íóò ýðìèòîâûìè.
      Ðàññìîòðèì òåïåðü íåêîòîðûå îñíîâíûå íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâ-
ëåíèÿ ãðóïïû      SU (n ) . Ïðåäñòàâëåíèåì ñ íàèìåíüøåé ðàçìåðíîñòüþ ÿâ-
ëÿåòñÿ îäíîìåðíîå ïðåäñòàâëåíèå, â êîòîðîì âñåì ýëåìåíòàì                 g = U ñî-
îòâåòñòâóåò óìíîæåíèå íà 1:
      U →1,
è, ñëåäîâàòåëüíî, âñå èíôèíèòåçèìàëüíûå îïåðàòîðû ðàâíû íóëþ:
      Yk = 0 .                                                             (8.4.4)
    Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî îäíèì èç íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé ñ
íàèìåíüøåé ðàçìåðíîñòüþ, îòëè÷íîé îò 1, ÿâëÿåòñÿ ïðåäñòàâëåíèå
      U →U .
       äàííîì ñëó÷àå ñàìà ãðóïïà               SU (n ) ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê å¸ ïðåä-

Страницы