Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 222 стр.

222                                                       Ãëàâà âîñüìàÿ

       Ïóñòü íàì çàäàíî ïðåäñòàâëåíèå    U ãðóïïû G â ïðîñòðàíñòâå
C (n ) , è C (k ) - èíâàðèàíòíîå ïîäïðîñòðàíñòâî, ïðåîáðàçóþùååñÿ ïî
íåïðèâîäèìîìó ïðåäñòàâëåíèþ U 1 è èíäóöèðóåìîå ïðåäñòàâëåíèåì U .

Åñëè ìû çíàåì íåêîòîðûé âåêòîð x ïîäïðîñòðàíñòâà C (k ) , òî ìû ìî-
æåì ïîñòðîèòü ýòî ïîäïðîñòðàíñòâî ñëåäóþùèì îáðàçîì (ñì. §7.4.,
ï.7.4.2). Ñíà÷àëà äåéñòâóåì íà x âñåìè îïåðàòîðàìè U (g ) èç ïðåäñòàâ-

ëåíèÿ U , â ðåçóëüòàòå ÷åãî ïîëó÷èì ìíîæåñòâî âåêòîðîâ U (g )x . Çàòåì
îáðàçóåì âñåâîçìîæíûå ëèíåéíûå êîìáèíàöèè âåêòîðîâ èç ýòîãî ìíî-
æåñòâà ïîëó÷èâ òàêèì îáðàçîì ïîäïðîñòðàíñòâî, èíâàðèàíòíîå îòíî-
ñèòåëüíî ïðåäñòàâëåíèÿ U , êîòîðîå íå ìîæåò ðàñïàäàòüñÿ íà äâà îðòî-
ãîíàëüíûõ èíâàðèàíòíûõ ïîäïðîñòðàíñòâà, òàê êàê ïîðîæäàåòñÿ ìíî-
æåñòâîì âåêòîðîâ      U (g )x , êàæäûé èç êîòîðûõ ïîëó÷àåòñÿ èç âåêòîðà
x ïðè ïîìîùè ïðåîáðàçîâàíèÿ U (g ).


        §8.3. Ñîïðÿæåííûå è êîíòðàãðåäèåíòíûå
              ïðåîáðàçîâàíèÿ

       Ðàññìîòðèì ðàçëè÷íûå ïðåäñòàâëåíèÿ, ñâÿçàííûå ñ äàííûì ïðåä-
ñòàâëåíèåì U è èìåþùèå òàêóþ æå ðàçìåðíîñòü, ÷òî è U , íî íå ýêâè-
âàëåíòíûå ïðåäñòàâëåíèþ U .
       Åñëè ñîîòâåòñòâèå
       g → U (g )                                               (8.3.1)
ÿâëÿåòñÿ íåêîòîðûì ïðåäñòàâëåíèåì ãðóïïû G , òî ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî
ñîîòâåòñòâèå
       g → U (g ) ,                                             (8.3.2)

ãäå   U (g ) - ìàòðèöà, êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííàÿ ê U (g ), ñëóæèò òàêæå
ïðåäñòàâëåíèåì ãðóïïû G . Ýòî ïðåäñòàâëåíèå íàçûâàåòñÿ ñîïðÿæåííûì
ê   U è îáîçíà÷àåòñÿ U .
       Ïîêàæåì, ÷òî íàðÿäó ñ îòîáðàæåíèÿìè (8.3.1) è (8.3.2) ñîîòâåòñòâèå