Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 220 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

220 Ãëàâà âîñüìàÿ
ñàìî ÿâëÿåòñÿ ïðîñòðàíñòâîì. Â ïðåîáðàçîâàíèè
()
gU âåêòîð
x
èç ïðî-
ñòðàíñòâà
()
kC ïðåâðàùàåòñÿ â âåêòîð
()
xgU , êîòîðûé ïðèíàäëåæèò
()
nC , íî ìîæåò è íå ïðèíàäëåæàòü
()
kC . Åñëè âåêòîðû
()
xgU ïðè-
íàäëåæàò
()
kC ïðè ëþáûõ
x
èç
()
kC è ëþáûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ
()
gU ,
òî åñòü, åñëè âî âñåõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ
()
gU âåêòîðû èç
()
kC ïðåâðà-
ùàþòñÿ â âåêòîðû òîãî æå ïîäïðîñòðàíñòâà
()
kC , ìû áóäåì ãîâîðèòü,
÷òî
()
kC ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòíûì ïîäïðîñòðàíñòâîì ïðåäñòàâëåíèÿ U .
Åñëè òàêîãî íåòðèâèàëüíîãî èíâàðèàíòíîãî ïîäïðîñòðàíñòâà íå ñóùå-
ñòâóåò, òî ïðåäñòàâëåíèå íàçûâàåòñÿ íåïðèâîäèìûì.
Ïóñòü U - íåêîòîðîå ïðèâîäèìîå ïðåäñòàâëåíèå ãðóïïû
G
â ïðî-
ñòðàíñòâå
()
nC ,
()
kC - íåêîòîðîå èíâàðèàíòíîå ïîäïðîñòðàíñòâî ïðåä-
ñòàâëåíèÿ U , à
()
lC - îðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå (ñì. §1.16) ê
()
kC .
Ïîêàæåì, ÷òî åñëè ïðåäñòàâëåíèå U óíèòàðíî, òî
()
lC - òàêæå èíâàðè-
àíòíîå ïîäïðîñòðàíñòâî.
Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü
()
kCx
∈
′
, à
()
lCx
∈
′′
. Òàê êàê
()
kC ÿâëÿ-
åòñÿ èíâàðèàíòíûì ïîäïðîñòðàíñòâîì, òî
()
()
xgUxgU
′
=
′
−
−
1
1
òàêæå
ïðèíàäëåæèò
()
kC , è ìû ìîæåì çàïèñàòü
()
( )
0
1
=
′′′
−
xxgU
.
Èç óíèòàðíîñòè ïðåäñòàâëåíèÿ U ñëåäóåò, ÷òî
()
( )
()() ()
( )
()
()
0
11
=
′′′
=
′′′
=
′′′
−−
xgUxxgUxgUgUxxgU
.
Òàêèì îáðàçîì, åñëè
()
lCx
∈
′′
, òî
()
xgU
′′
îðòîãîíàëåí ëþáîìó
âåêòîðó
()
kCx
∈
′
äëÿ ëþáîãî
()
gU è ìû äîêàçàëè, ÷òî
()
lC ÿâëÿåòñÿ
èíâàðèàíòíûì ïîäïðîñòðàíñòâîì. Ïðîñòðàíñòâî
()
nC ðàñùåïëÿåòñÿ íà
äâà îðòîãîíàëüíûõ èíâàðèàíòíûõ ïîäïðîñòðàíñòâà:
()
kC è
()
lC . Åñëè
ïðåäñòàâëåíèÿ
1
U è
2
U èíäóöèðóåìûå ïðåäñòàâëåíèåì U â ïîäïðîñò-
220                                                                    Ãëàâà âîñüìàÿ

ñàìî ÿâëÿåòñÿ ïðîñòðàíñòâîì. Â ïðåîáðàçîâàíèè U (g ) âåêòîð x èç ïðî-

ñòðàíñòâà   C (k ) ïðåâðàùàåòñÿ â âåêòîð U (g )x , êîòîðûé ïðèíàäëåæèò
C (n ) , íî ìîæåò è íå ïðèíàäëåæàòü C (k ) . Åñëè âåêòîðû U (g )x ïðè-
íàäëåæàò    C (k ) ïðè ëþáûõ x èç C (k ) è ëþáûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ U (g ),
òî åñòü, åñëè âî âñåõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ           U (g ) âåêòîðû èç C (k ) ïðåâðà-
ùàþòñÿ â âåêòîðû òîãî æå ïîäïðîñòðàíñòâà               C (k ) , ìû áóäåì ãîâîðèòü,
÷òî C (k ) ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòíûì ïîäïðîñòðàíñòâîì ïðåäñòàâëåíèÿ U .
Åñëè òàêîãî íåòðèâèàëüíîãî èíâàðèàíòíîãî ïîäïðîñòðàíñòâà íå ñóùå-
ñòâóåò, òî ïðåäñòàâëåíèå íàçûâàåòñÿ íåïðèâîäèìûì.
      Ïóñòü U - íåêîòîðîå ïðèâîäèìîå ïðåäñòàâëåíèå ãðóïïû G â ïðî-
ñòðàíñòâå   C (n ) , C (k ) - íåêîòîðîå èíâàðèàíòíîå ïîäïðîñòðàíñòâî ïðåä-
ñòàâëåíèÿ   U , à C (l )- îðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå (ñì. §1.16) ê C (k ) .
Ïîêàæåì, ÷òî åñëè ïðåäñòàâëåíèå U óíèòàðíî, òî                   C (l )- òàêæå èíâàðè-
àíòíîå ïîäïðîñòðàíñòâî.
      Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü         x ′ ∈ C (k ) , à x ′′ ∈ C (l ). Òàê êàê C (k ) ÿâëÿ-
                                                     U (g ) x ′ = U (g −1 )x ′ òàêæå
                                                            −1
åòñÿ èíâàðèàíòíûì ïîäïðîñòðàíñòâîì, òî

ïðèíàäëåæèò       C (k ) , è ìû ìîæåì çàïèñàòü
      (U (g )−1
                        )
                  x ′ x ′′ = 0 .
      Èç óíèòàðíîñòè ïðåäñòàâëåíèÿ U ñëåäóåò, ÷òî

      (U (g )−1
                        ) (                            )
                  x ′ x ′′ = U (g )U (g ) x ′U (g )x ′′ = (x ′U (g )x ′′) = 0 .
                                         −1



      Òàêèì îáðàçîì, åñëè          x ′′ ∈ C (l ), òî U (g )x ′′ îðòîãîíàëåí ëþáîìó
âåêòîðó   x ′ ∈ C (k ) äëÿ ëþáîãî U (g ) è ìû äîêàçàëè, ÷òî C (l ) ÿâëÿåòñÿ
èíâàðèàíòíûì ïîäïðîñòðàíñòâîì. Ïðîñòðàíñòâî                 C (n ) ðàñùåïëÿåòñÿ íà
äâà îðòîãîíàëüíûõ èíâàðèàíòíûõ ïîäïðîñòðàíñòâà:                   C (k ) è C (l ). Åñëè
ïðåäñòàâëåíèÿ       U1 è U 2 èíäóöèðóåìûå ïðåäñòàâëåíèåì U â ïîäïðîñò-

Страницы