Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 213 стр.

Ïðåäñòàâëåíèÿ íåïðåðûâíûõ ãðóïï âðàùåíèÿ SO(2) è SO(3)                            213


                    ∂ψ    ∂ψ 2              ∂ψ
       J +ψ 2 = z  2 + i       − (x + iy ) 2 =
                    ∂x     ∂y                ∂z
                = 2 z (x + iy − iy − x ) − (x + iy )0 = 0,

                    ∂ψ 2    ∂ψ 2 
       J zψ 2 = i  y    −x       = 2(x 2 − y 2 + 2ixy ) = 2ψ 2 .
                      ∂x     ∂y   
       Òàêèì îáðàçîì, ìû âèäèì, ÷òî ôóíêöèÿ ψ 2 îòâå÷àåò ñòàðøåìó âåñó
m =2.
    Ïîñëåäîâàòåëüíî ïðèìåíÿÿ ïîíèæàþùèé îïåðàòîð J − ñ ó÷¸òîì
óñëîâèé Êîíäîíà-Øîðòëè (7.4.27) ïîñòðîèì íàáîð ôóíêöèé
ψ 1 ,ψ 0 ,ψ −1 ,ψ −2 .

       J −ψ 2 =      (2 + 1 + 1)(2 − 1)ψ 1 , èëè ψ 1 = 1 J −ψ 2 .
                                                        2
       Ñ äðóãîé ñòîðîíû        J −ψ 2 = −4 z (x + iy ) è ψ 1 = −2 z (x + iy ) .
       J −ψ 1 =      (2 + 0 + 1)(2 − 0)ψ 0 ,

                   J −ψ 1 , J −ψ 1 = −2(x 2 + y 2 − 2 z 2 ) è
                 1
èëè ψ 0    =
                 6

ψ0 = −           (
               2 2
               3
                  x + y 2 − 2 z 2 ).

       J −ψ 0 =      (2 − 1 + 1)(2 + 1)ψ −1 ,

èëè ψ −1   =
                  1
                    J −ψ 0 , J −ψ 0 =
                                      72
                                         (x − iy ) , ψ −1 = 2(x − iy ).
                  6                    3
       ψ − 2 = J −ψ −1 = (x − iy )2 .
       Ôóíêöèè ψ 2 ,ψ 1 ,ψ 0 ,ψ −1 ,ψ − 2 ëèíåéíî íåçàâèñèìû. Âìåñòå ñ èíâà-