Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 211 стр.

Ïðåäñòàâëåíèÿ íåïðåðûâíûõ ãðóïï âðàùåíèÿ SO(2) è SO(3)                              211

     X x e z = [e x × e z ] = −e y , X y e z = e x ,         X zez = 0 .
    Ïîëàãàÿ         J q = iX q , ïîëó÷èì

                                           i (− e y + ie x ) − e x − ie y
                     X z (− e x − ie y ) =
                  i
     J z e1 =                                               =             = e1 ,
                   2                                2              2
     J ze0 = 0 ,
     J z e −1 = −e −1 ,
     J + e1 = 0 ,              J − e1 = 2e 0 ,

     J + e 0 = 2e1 ,                   J − e 0 = 2e −1 ,
     J + e −1 = 2e 0 ,                 J − e −1 = 0 .
    Ïðîâåðèì âûïîëíåíèå óñëîâèé Êîíäîíà-Øîðòëè (7.4.27) äëÿ ïî-
ëó÷åííûõ ñîîòíîøåíèé ïðè            j = 1 è m = −1,0,1 .
     J +e0 =      (1 + 0 + 1)(1 − 0)e 0+1 =     2e1 ,
     J + e −1 =     (1 − 1 + 1)(1 − (− 1))e −1+1 =      2e 0 è òàê äàëåå.
    Òàêèì îáðàçîì, ìàòðèöû îïåðàòîðîâ                    J q â áàçèñå e m ïðèìóò âèä:

      1 0 0                                 0         0                0
                      0                 2                              0
                                                                             
J z = 0 0 0  , J+ = 0                0       2 , J− =  2           0    0 .
       0 0 − 1                                        0
                     0               0      0                      2   0 
                                                                             (7.4.35)

    Ïðèìåð 7.4.2.
    Ðàññìîòðèì øåñòèìåðíîå ïðîñòðàíñòâî âñåõ îäíîðîäíûõ êâàäðà-
òè÷íûõ ôóíêöèé (§5.3, ï.7)
    ψ (r ) = c1 x 2 + c2 y 2 + c3 z 2 + c4 yz + c5 zx + c6 xy .
     Ýòî ïðîñòðàíñòâî èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî ëþáûõ ïîâîðîòîâ,
òàê êàê ïðè âðàùåíèè ñòåïåíü îäíîðîäíîãî ïîëèíîìà íå ìåíÿåòñÿ. Ôóí-