Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 206 стр.

206                                                                     Ãëàâà ñåäüìàÿ

       Ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû                  J + è J − îïðåäåëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì (7.4.13)
è (7.4.23), åñëè èçâåñòíû íîðìèðîâî÷íûå ìíîæèòåëè                    Am . Äëÿ âû÷èñëå-
íèÿ ýòèõ ìíîæèòåëåé âîñïîëüçóåìñÿ òåì ôàêòîì, ÷òî îïåðàòîðû                      J q ýð-
ìèòîâû è ïîýòîìó
       J −+ = J + .
       Îòñþäà
       (e m J − e m+1 ) = (J + e m e m+1 ) = (e m+1 J + e m ).
       Òîãäà èç ðàâåíñòâ (7.4.13) è (7.4.23) ïîëó÷èì

                  = ( j + m + 1)( j − m ) .
             −2
       A                                                                       (7.4.26)
       Îòíîøåíèÿ ôàçîâûõ ìíîæèòåëåé âåêòîðîâ áàçèñà íå îïðåäåëÿþò-
ñÿ íè óñëîâèåì îðòîãîíàëüíîñòè, íè íîðìèðîâêîé, è â ìíîæèòåëå                        Am
ìîæíî ââåñòè ëþáîå êîìïëåêñíîå ÷èñëî, ðàâíîå ïî ìîäóëþ åäèíèöå.
Îáû÷íî ìíîæèòåëè                      Am ñ÷èòàþò äåéñòâèòåëüíûìè è ïîëîæèòåëüíûìè,
òàê ÷òî ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû îïåðàòîðîâ                   J ± îïðåäåëÿþòñÿ ðàâåíñòâàìè

       J − e m +1 =         ( j + m + 1)( j − m)e m ,
                                                                               (7.4.27)
       J +e m =           ( j + m + 1)( j − m)e m+1 .
       Òàêîé âûáîð ôàçîâûõ ìíîæèòåëåé íàçûâàåòñÿ óñëîâèåì Êîíäîíà-
Øîðòëè, è îòíîøåíèÿ ôàçîâûõ ìíîæèòåëåé âñåõ                      2 j + 1 âåêòîðîâ áàçè-
ñà îïðåäåëÿþòñÿ ýòèì óñëîâèåì îäíîçíà÷íî.
                                                                        ( j)
     Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî ïðåäñòàâëåíèé D ïîëíî, ïðè-
÷¸ì â ñëó÷àå îäíîçíà÷íîé ôóíêöèè ìîæíî îáîéòèñü ëèøü öåëûìè ÷èñ-
ëàìè    j:
                  ∞       j
       ψ =∑            ∑ψ        jm   ,                                        (7.4.28)
                  j =0 m = − j

ãäå   j - öåëîå ÷èñëî, à êàæäûé ÷ëåí ψ jm ðàçëîæåíèÿ ïðåîáðàçóåòñÿ êàê
m -ÿ ñòðîêà ïðåäñòàâëåíèÿ D ( j ) .