Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 204 стр.

204                                                                     Ãëàâà ñåäüìàÿ


      J2 =
                 1
                   (J + J − + J − J + ) + J z2 ,                                  (7.4.18)
                 2
èëè
      J 2 = J − J + + J z2 + J z ,                                                (7.4.19)

      J 2 = J + J − + J z2 − J z .                                                (7.4.20)

      Èç ñîîòíîøåíèé (7.4.19) è ñâîéñòâà (7.4.12) ñëåäóåò, ÷òî                    e j - ñîá-
ñòâåííûé âåêòîð îïåðàòîðà               J2 :
                   (                      )
      J 2 e j = J − J + + J z2 + J z e j = J − (J + e j )+ J z2 e j + J z e j =
                 = j 2 e j + je j = j ( j + 1)e j .
      Òîãäà â ñèëó ïåðåñòàíîâî÷íîãî ñîîòíîøåíèÿ
      [J   2
                  ]
               , J− = 0                                                           (7.4.21)

äëÿ ëþáîãî âåêòîðà           e m èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (7.4.15) ïîëó÷èì
      J 2 e m = j ( j + 1)e m .                                                   (7.4.22)
èç ñîîòíîøåíèé (7.4.13) è (7.4.20) ñëåäóåò èíâàðèàíòíîñòü ìíîæåñòâà
(7.4.15) îòíîñèòåëüíî äåéñòâèÿ îïåðàòîðà               J+ :

                                           (             )
      J + e m = Am J + J − e m = Am J 2 − J z2 + J z e m +1 =
                        [                                ]
                 = Am j ( j + 1) − (m + 1) + (m + 1) e m +1 =
                                                   2
                                                                                  (7.4.23)
                 = Am ( j + m + 1)( j − m )e m +1 .

     Ìû âèäèì, ÷òî ïîâûøàþùèé îïåðàòîð J + íå äà¸ò êàêèõ ëèáî âåê-
òîðîâ, îòëè÷íûõ îò âåêòîðîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (7.4.15), êîòîðàÿ áûëà
ïîëó÷åíà â ðåçóëüòàòå äåéñòâèÿ ïîíèæàþùåãî îïåðàòîðà                      J − íà âåêòîð
e j . Âåêòîð e j äîëæåí áûòü åäèíñòâåííûì âåêòîðîì ñòàðøåãî âåñà ñðåäè
âåêòîðîâ áàçèñà ïðîñòðàíñòâà L , èíà÷å ïðåäñòàâëåíèå D áóäåò ïðèâîäè-
ìûì. Îêîí÷àòåëüíî ìû ìîæåì ñêàçàòü, ÷òî íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ
ãðóïïû   SO(3) îáëàäàþò áàçèñîì, àíàëîãè÷íûì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (7.4.15).