Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 202 стр.

202                                                                  Ãëàâà ñåäüìàÿ

èëè, ÷òî ýêâèâàëåíòíî, ñîîòíîøåíèÿìè (7.4.7) è ðàâåíñòâîì
      [J + , J − ] = [J x + iJ y , J x − iJ y ] = 2 J z .                  (7.4.11)
      Ïåðåä íàìè ñòîèò çàäà÷à âû÷èñëèòü ðàçìåðíîñòè íåïðèâîäèìûõ
ïðåäñòàâëåíèé ãðóïïû SO(3) è íàéòè ñïîñîá çàíóìåðîâàòü ýòè ïðåä-
ñòàâëåíèÿ.
     Äîãîâîðèìñÿ îáîçíà÷àòü íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïïû
SO(3) áóêâîé D .
      Âûáåðåì áàçèñ, â êîòîðîì èíôèíèòåçèìàëüíûé îïåðàòîð                   J z äèà-
ãîíàëåí. Âåêòîðû e m (íå ïóòàòü ñ åäèíè÷íûìè âåêòîðàìè e x , e y , e z
îáû÷íîãî òð¸õìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà) èìåþò èíäåêñ m , ñîîòâåòñòâóþ-
ùèé ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ m îïåðàòîðà J z , òî åñòü íåïðèâîäèìîìó

                    ãðóïïû SO(2 ) , êîòîðîìó îíè ïðèíàäëåæàò.
                          (m )
ïðåäñòàâëåíèþ P
      îáùåì ñëó÷àå ó íåñêîëüêèõ ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ âåêòîðîâ áàçè-
ñà ìîãóò áûòü îäèíàêîâûå èíäåêñû                 m . Ïóñòü j ìàêñèìàëüíîå çíà÷å-
íèå èíäåêñà      m äëÿ âåêòîðîâ áàçèñà ïðåäñòàâëåíèÿ D è ïóñòü e j - âåê-
òîð áàçèñà ñ èíäåêñîì              m = j . Ýòî âåêòîð ñòàðøåãî âåñà. Âåêòîð e j äîë-
æåí óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ
      J +e j = 0 ,                                                         (7.4.12)

òàê êàê èíà÷å íîâûé âåêòîð              J + e j èìåë áû âåñ áîëüøèé, ÷åì âåñ âåêòîðà
e j . Ïîñëåäîâàòåëüíî äåéñòâóÿ íà âåêòîð e j ïîíèæàþùèì îïåðàòîðîì
J − , ïîëó÷èì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íîðìèðîâàííûõ âåêòîðîâ:

      e j −1 = A j −1e j ,
      e j − 2 = A j − 2 e j −1 ,
                                                                           (7.4.13)
      e j −3 = A j −3 e j − 2 ,
      ..........................