Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 197 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

197Ïðåäñòàâëåíèÿ íåïðåðûâíûõ ãðóïï âðàùåíèÿ SO(2) è SO(3)
ãäå
z
e - åäèíè÷íûé âåêòîð, íàïðàâëåííûé ïî îñè z .
Äëÿ îïåðàòîðà
()
aR
z
ìû ìîæåì íàïèñàòü âûðàæåíèå
()
×+=
zz
aaR
e[1 , (7.3.10)
à äëÿ èíôèíèòåçèìàëüíîãî îïåðàòîðà
X
ï.1 äàííîãî ïðèìåðà ïîëó÷èì
×=
z
X
e[ . (7.3.11)
Íàéä¸ì èíôèíèòåçèìàëüíûé îïåðàòîð äëÿ ï.2 äàííîãî ïðèìåðà,
äëÿ ÷åãî ðàçëîæèì ïðàâóþ ÷àñòü ðàâåíñòâà (7.3.8) â ðÿä Òåéëîðà:
()( )() () () ()
...,
2
1
,,,
2
2
2
+
∂
∂
+
∂
∂
−=
ϕψ
ϕ
ϕψ
ϕ
ϕψϕψ
rararraRP
z
.
Ïðè ìàëûõ óãëàõ a ýòîò îïåðàòîð ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
()()
ϕ
∂
∂
−≈
aaRP
z
1 . (7.3.12)
Òàêèì îáðàçîì â ýòîì ïóíêòå èíôèíèòåçèìàëüíûì îïåðàòîðîì
ñëóæèò äèôôåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð
ϕ
∂
∂
−=X , (7.3.13)
òàê êàê ðÿä Òåéëîðà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ýêñïîíåíöèàëüíûé ðÿä äëÿ äèô-
ôåðåíöèàëüíîãî îïåðàòîðà
ϕ
∂
∂
, òî åñòü
()()
ϕ
∂
∂
−
=
a
z
eaRP
,
÷òî ñîãëàñóåòñÿ ñ ðàâåíñòâîì (7.2.4).
Îòìåòèì ñâÿçü èíôèíèòåçèìàëüíîãî îïåðàòîðà
X
ñ óãëîâûì ìî-
ìåíòîì â êâàíòîâîé ìåõàíèêå:
[]
z
z
iiX
I
pr
−=
×
=
∂
∂
−=
h
ϕ
, (7.3.14)
ãäå
z
I - îïåðàòîð
z
-êîìïîíåíòû óãëîâîãî ìîìåíòà (â åäèíèöàõ
h
).
Ðàññìàòðèâàÿ âòîðîé ÷ëåí ðàçëîæåíèÿ (7.3.2) ïðè ìàëûõ óãëàõ
a
Ïðåäñòàâëåíèÿ íåïðåðûâíûõ ãðóïï âðàùåíèÿ SO(2) è SO(3)                              197

ãäå   e z - åäèíè÷íûé âåêòîð, íàïðàâëåííûé ïî îñè z .
       Äëÿ îïåðàòîðà         R z (a ) ìû ìîæåì íàïèñàòü âûðàæåíèå
       R z (a ) = 1 + a[e z × ,                                              (7.3.10)
à äëÿ èíôèíèòåçèìàëüíîãî îïåðàòîðà X ï.1 äàííîãî ïðèìåðà ïîëó÷èì
       X = [e z × .                                         (7.3.11)
     Íàéä¸ì èíôèíèòåçèìàëüíûé îïåðàòîð äëÿ ï.2 äàííîãî ïðèìåðà,
äëÿ ÷åãî ðàçëîæèì ïðàâóþ ÷àñòü ðàâåíñòâà (7.3.8) â ðÿä Òåéëîðà:

                                                 ∂                  ∂2
       P(R z (a ))ψ (r , ϕ ) = ψ (r , ϕ ) − a      ψ (r , ϕ ) + a 2    ψ (r , ϕ ) + ....
                                                               1
                                                ∂ϕ             2 ∂ϕ 2
       Ïðè ìàëûõ óãëàõ            a ýòîò îïåðàòîð ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
                               ∂
       P(R z (a )) ≈ 1 − a       .                                           (7.3.12)
                              ∂ϕ
    Òàêèì îáðàçîì â ýòîì ïóíêòå èíôèíèòåçèìàëüíûì îïåðàòîðîì
ñëóæèò äèôôåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð
                ∂
       X =−       ,                                                          (7.3.13)
               ∂ϕ
òàê êàê ðÿä Òåéëîðà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ýêñïîíåíöèàëüíûé ðÿä äëÿ äèô-
                                       ∂
ôåðåíöèàëüíîãî îïåðàòîðà                 , òî åñòü
                                      ∂ϕ
                              ∂
                        −a
       P(Rz (a )) = e        ∂ϕ
                                  ,
÷òî ñîãëàñóåòñÿ ñ ðàâåíñòâîì (7.2.4).
    Îòìåòèì ñâÿçü èíôèíèòåçèìàëüíîãî îïåðàòîðà                      X ñ óãëîâûì ìî-
ìåíòîì â êâàíòîâîé ìåõàíèêå:

       X = −
                  ∂
                    =i
                       [r × p ]z = − i I ,                                   (7.3.14)
                 ∂ϕ
                                        z
                           h
ãäå   I z - îïåðàòîð z -êîìïîíåíòû óãëîâîãî ìîìåíòà (â åäèíèöàõ h ).
       Ðàññìàòðèâàÿ âòîðîé ÷ëåí ðàçëîæåíèÿ (7.3.2) ïðè ìàëûõ óãëàõ a

Страницы