Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 194 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

194 Ãëàâà ñåäüìàÿ
Äëÿ ,...
2
3
,
2
1
±±=m , ìîæíî ïîñòðîèòü óíèòàðíûå ïðåäñòàâëåíèÿ,
íåïðåðûâíûå íà ðàñøèðåííîé îáëàñòè çíà÷åíèé
π
40 ≤≤ a
. Ýòè ïðåä-
ñòàâëåíèÿ äâóçíà÷íû â îáû÷íîé îáëàñòè çíà÷åíèé
π
20 <≤ a
. Òàêèå
äâóçíà÷íûå ïðåäñòàâëåíèÿ íåîáõîäèìû äëÿ îïèñàíèÿ ñïèíà â êâàíòî-
âîé ìåõàíèêå.
7.3.2. Õàðàêòåð
Äëÿ îäíîìåðíûõ ïðåäñòàâëåíèé õàðàêòåð ñîâïàäàåò ñ ñàìèì ïðåä-
ñòàâëåíèåì è òàê êàê êàæäûé ýëåìåíò ñîâïàäàåò ñ êëàññîì ñâîèõ ñîïðÿ-
æåííûõ ýëåìåíòîâ, ìû ìîæåì äëÿ õàðàêòåðà çàïèñàòü
() ()
()
imamm
eaP
−
=≡
χ
, (7.3.4)
òî åñòü ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèåé ïàðàìåòðà a .
Ñîîòíîøåíèå îðòîãîíàëüíîñòè õàðàêòåðîâ (äëÿ êîíå÷íûõ ãðóïï
(5.11.1), (5.11.2)), òåïåðü çàïèøåòñÿ â èíòåãðàëüíîì âèäå:
() ( ) ( )
mm
mmia
a
mm
daeda
′
−
′
=
′
==
∫∫
πδχχ
ππ
2
2
0
2
0
*
. (7.3.5)
Çäåñü âåñîâàÿ ôóíêöèÿ
()
a
ρ
âûáðàíà åäèíè÷íîé, à îáú¸ì
π
2
,
çàìåíÿåò ÷èñëà
g
â ñîîòíîøåíèÿõ (5.11.1) è (5.11.2).
Õàðàêòåðîì ïðîèçâåäåíèÿ ïðåäñòàâëåíèé
()
1
m
P
è
()
2
m
P
áóäåò ôóí-
êöèÿ
()
ammi
e
21
+−
, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ õàðàêòåðîì ïðåäñòàâëåíèÿ
()
21
mm
P
+
,
òàêèì îáðàçîì ìû ìîæåì çàïèñàòü
() () ( )
2121
mmmm
PPP
+
=⊗
. (7.3.6)
7.3.3. Ïðèìåðû áàçèñíûõ âåêòîðîâ
1. Ðàññìîòðèì åäèíè÷íûå âåêòîðû
x
e è
y
e , íàïðàâëåííûå âäîëü
îñåé x è
y
. Ïóñòü
()
2SO - ãðóïïà âðàùåíèé îòíîñèòåëüíî îñè
z
.
Òîãäà (§5.3, ï.6):
194                                                               Ãëàâà ñåäüìàÿ

                   1 3
       Äëÿ    m = ± ,± ,... , ìîæíî ïîñòðîèòü óíèòàðíûå ïðåäñòàâëåíèÿ,
                   2 2
íåïðåðûâíûå íà ðàñøèðåííîé îáëàñòè çíà÷åíèé 0 ≤ a ≤ 4π . Ýòè ïðåä-
ñòàâëåíèÿ äâóçíà÷íû â îáû÷íîé îáëàñòè çíà÷åíèé 0 ≤ a < 2π . Òàêèå
äâóçíà÷íûå ïðåäñòàâëåíèÿ íåîáõîäèìû äëÿ îïèñàíèÿ ñïèíà â êâàíòî-
âîé ìåõàíèêå.

        7.3.2. Õàðàêòåð
     Äëÿ îäíîìåðíûõ ïðåäñòàâëåíèé õàðàêòåð ñîâïàäàåò ñ ñàìèì ïðåä-
ñòàâëåíèåì è òàê êàê êàæäûé ýëåìåíò ñîâïàäàåò ñ êëàññîì ñâîèõ ñîïðÿ-
æåííûõ ýëåìåíòîâ, ìû ìîæåì äëÿ õàðàêòåðà çàïèñàòü
       χ (m ) ≡ P (m ) (a ) = e −ima ,                                  (7.3.4)
òî åñòü ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèåé ïàðàìåòðà a .
      Ñîîòíîøåíèå îðòîãîíàëüíîñòè õàðàêòåðîâ (äëÿ êîíå÷íûõ ãðóïï
(5.11.1), (5.11.2)), òåïåðü çàïèøåòñÿ â èíòåãðàëüíîì âèäå:
       2π                      2π
           (m ) (m′ )  ia (m′− m )
        ∫ χ χ da = ∫ e
                         *
                                   da = 2πδ m′m .                       (7.3.5)
       a =0                     0

       Çäåñü âåñîâàÿ ôóíêöèÿ          ρ (a ) âûáðàíà åäèíè÷íîé, à “îáú¸ì” 2π ,
çàìåíÿåò ÷èñëà          g â ñîîòíîøåíèÿõ (5.11.1) è (5.11.2).
       Õàðàêòåðîì ïðîèçâåäåíèÿ ïðåäñòàâëåíèé           P (m1 ) è P (m2 ) áóäåò ôóí-
        − i (m + m )a
êöèÿ e   1  2
              , êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ õàðàêòåðîì ïðåäñòàâëåíèÿ               P (m1 + m2 ) ,
òàêèì îáðàçîì ìû ìîæåì çàïèñàòü
       P (m1 ) ⊗ P (m2 ) = P (m1 + m2 ) .                               (7.3.6)

        7.3.3. Ïðèìåðû áàçèñíûõ âåêòîðîâ
       1. Ðàññìîòðèì åäèíè÷íûå âåêòîðû           e x è e y , íàïðàâëåííûå âäîëü
îñåé   x è y . Ïóñòü SO(2 ) - ãðóïïà âðàùåíèé îòíîñèòåëüíî îñè z .
       Òîãäà (§5.3, ï.6):

Страницы