Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 192 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

192 Ãëàâà ñåäüìàÿ
()
[]
()
()
()
∑
=
j
j
ji
qiq
SXSX
α
α
α
, . (7.2.12)
Îòìåòèì, ÷òî èíâàðèàíòíûé îïåðàòîð
S
äîëæåí óäîâëåòâîðÿòü
óðàâíåíèþ
[ ]
0,
=
SX
q
(7.2.13)
ïðè ëþáîì èíäåêñå
q
, òî åñòü îïåðàòîð
S
êîììóòèðóåò ñî âñåìè èíôè-
íèòåçèìàëüíûìè îïåðàòîðàìè.
Èíôèíèòåçèìàëüíûå îïåðàòîðû äëÿ ïðîèçâåäåíèÿ ïðåäñòàâëåíèé
(5.5.2) èìåþò âèä ñóììû èíôèíèòåçèìàëüíûõ îïåðàòîðîâ ñîìíîæèòåëåé:
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
[]
.
∑
∑∑
++=
=
+⋅
+=
q
ik
jl
pjl
ik
qqjlik
p
jl
ppjl
q
ik
qqik
kl
ij
XXa
XaXaPP
δδδδ
δδ
βα
βαβα
aa
Òàêèì îáðàçîì, â áàçèñå ïðîèçâåäåíèé ôóíêöèé
()
α
ϕ
k
è
()
β
ψ
l
ëþ-
áîé èíôèíèòåçèìàëüíûé îïåðàòîð
q
X
ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
() ( )
21
qqq
XXX
+=
, (7.2.14)
ãäå
()
1
q
X
- ïðîèçâåäåíèå èíôèíèòåçèìàëüíîãî îïåðàòîðà
q
X
äëÿ
()
α
ϕ
k
íà åäèíè÷íûé îïåðàòîð äëÿ
()
β
ψ
l
, à
()
2
q
X
- ïðîèçâåäåíèå åäèíè÷íîãî
îïåðàòîðà äëÿ
()
α
ϕ
k
íà èíôèíèòåçèìàëüíûé îïåðàòîð äëÿ
()
β
ψ
l
, ÷òî ñî-
âïàäàåò ñ (6.10.9).
§7.3. Ãðóïïà
()
2SO
7.3.1. Íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ
Ãðóïïà
()
2SO ÿâëÿåòñÿ àáåëåâîé ãðóïïîé, â ñèëó ÷åãî, å¸ íåïðèâî-
äèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ îäíîìåðíû.
192                                                                                 Ãëàâà ñåäüìàÿ


       [X        (α )
            q , Si      ]= ∑ (X )( ) S ( ) .
                                    α
                                  q ji       j
                                              α
                                                                                              (7.2.12)
                            j

     Îòìåòèì, ÷òî èíâàðèàíòíûé îïåðàòîð S äîëæåí óäîâëåòâîðÿòü
óðàâíåíèþ
       [X q , S ] = 0                                                                         (7.2.13)

ïðè ëþáîì èíäåêñå q , òî åñòü îïåðàòîð S êîììóòèðóåò ñî âñåìè èíôè-
íèòåçèìàëüíûìè îïåðàòîðàìè.
      Èíôèíèòåçèìàëüíûå îïåðàòîðû äëÿ ïðîèçâåäåíèÿ ïðåäñòàâëåíèé
(5.5.2) èìåþò âèä ñóììû èíôèíèòåçèìàëüíûõ îïåðàòîðîâ ñîìíîæèòåëåé:

                                                                                             
                                             (
Pij(α ) (a )Pkl(β ) (a ) = δ ik + ∑ aq X q(α )          )
                                                         ik
                                                                                (
                                                                                (β )
                                                             ⋅ δ jl + ∑ a p X p        )   jl
                                                                                                =
                                                                                          
                                                  [( )                               ]
                                   q                                    p

                                                                     (      )
                         = δ ik δ jl + ∑ aq X q(α ) ik δ jl + X (pβ ) jl δ ik .
                                         q


      Òàêèì îáðàçîì, â áàçèñå ïðîèçâåäåíèé ôóíêöèé                              ϕ k(α ) è ψ l(β ) ëþ-
áîé èíôèíèòåçèìàëüíûé îïåðàòîð                       Xq ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
       X q = X q (1) + X q (2 ),                                                              (7.2.14)

ãäå   X q (1) - ïðîèçâåäåíèå èíôèíèòåçèìàëüíîãî îïåðàòîðà Xq äëÿ ϕ k(α )

íà åäèíè÷íûé îïåðàòîð äëÿ ψ l
                                             (β )
                                                    ,à   X q (2 ) - ïðîèçâåäåíèå åäèíè÷íîãî

îïåðàòîðà äëÿ           ϕ k(α ) íà èíôèíèòåçèìàëüíûé îïåðàòîð äëÿ ψ l(β ) , ÷òî ñî-
âïàäàåò ñ (6.10.9).



       §7.3. Ãðóïïà SO(2 )

       7.3.1. Íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ
    Ãðóïïà SO(2 ) ÿâëÿåòñÿ àáåëåâîé ãðóïïîé, â ñèëó ÷åãî, å¸ íåïðèâî-
äèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ îäíîìåðíû.

Страницы