Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 181 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

181Àëãåáðû Ëè
Âñå îïåðàòîðû âèäà
()
AP
~
, ãäå
A
ïðîáåãàåò àëãåáðó
A
, ñîñòàâëÿ-
þò òàêæå íåêîòîðóþ àëãåáðó Ëè  ïîäàëãåáðó
()
CkAGL , .
 òåîðèè ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö ÷àùå âñåãî ðàáîòàþò ñ ïðåäñòàâëå-
íèÿìè àëãåáð Ëè, íî ó÷èòûâàÿ èõ ñâÿçü ñ ïðåäñòàâëåíèÿìè ãðóïï Ëè, ìû
ìîæåì îãðàíè÷èòüñÿ ëèøü èçó÷åíèåì ïðåäñòàâëåíèé ãðóïï Ëè, óêàçàâ
çàêîí, ïî êîòîðîìó ïðåäñòàâëåíèå ãðóïïû Ëè ïîðîæäàåò ïðåäñòàâëåíèå
ñîîòâåòñòâóþùåé åé àëãåáðû Ëè è òàêèì îáðàçîì ìîæíî ïîëó÷èòü âñå
ïðåäñòàâëåíèÿ àëãåáð Ëè.
Ïóñòü íàì çàäàíî ïðåäñòàâëåíèå P ãðóïïû Ëè
G
k
- ðÿäíûìè
îïåðàòîðàìè. Ïðåäñòàâëÿþùóþ ãðóïïó îáîçíà÷èì ÷åðåç
()
GP . Àëãåá-
ðó Ëè, ñîîòâåòñòâóþùóþ ãðóïïå
G
, îáîçíà÷èì ÷åðåç
AG
.
Åñëè îïåðàòîð
A
ïðèíàäëåæèò
AG
, òî
iA
e
ïðèíàäëåæèò
G
. Ðàñ-
ñìîòðèì îäíîïàðàìåòðè÷åñêóþ ïîäãðóïïó
G
, ñîñòîÿùóþ èç îïåðàòî-
ðîâ
itA
e
, ãäå t - äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî.
Òàê êàê
( ) ( ) ( )
()
( )
AttiAitAitAitAit
ePeePePeP
212121
+
==
,
îïåðàòîð
( )
itA
eP
òîæå îáðàçóåò îäíîïàðàìåòðè÷åñêóþ ïîäãðóïïó ãðóï-
ïû
()
GP . Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî â àëãåáðå Ëè ãðóïïû
()
GP ñóùåñòâóåò
îäèí, è òîëüêî îäèí, îïåðàòîð A
~
, ïîðîæäàþùèé ýòó ïîäãðóïïó, òî åñòü
óäîâëåòâîðÿþùèé òîæäåñòâó
()
AititA
eeP
~
=
. (6.10.2)
Çàìåòèì (áåç äîêàçàòåëüñòâà), ÷òî A
~
åñòü êîýôôèöèåíò ïðè it â
ðàçëîæåíèè ïî ñòåïåíÿì t îïåðàòîðà
( )
itA
eP
è (6.10.2) ñïðàâåäëèâî ñ
òî÷íîñòüþ äî ìàëîé âûñøåãî ïîðÿäêà îòíîñèòåëüíî t .
Ïóñòü
()
APA
~
~
=
, (6.10.3)
òîãäà
P
~
è åñòü ïðåäñòàâëåíèå àëãåáðû Ëè, ïîðîæä¸ííîå çàäàííûì
ïðåäñòàâëåíèåì ãðóïïû Ëè. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî P
~
óäîâëåòâîðÿþò
Àëãåáðû Ëè                                                                        181

                                   P (A), ãäå A ïðîáåãàåò àëãåáðó A , ñîñòàâëÿ-
                                   ~
      Âñå îïåðàòîðû âèäà

þò òàêæå íåêîòîðóþ àëãåáðó Ëè – ïîäàëãåáðó AGL(k , C ) .
      òåîðèè ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö ÷àùå âñåãî ðàáîòàþò ñ ïðåäñòàâëå-
íèÿìè àëãåáð Ëè, íî ó÷èòûâàÿ èõ ñâÿçü ñ ïðåäñòàâëåíèÿìè ãðóïï Ëè, ìû
ìîæåì îãðàíè÷èòüñÿ ëèøü èçó÷åíèåì ïðåäñòàâëåíèé ãðóïï Ëè, óêàçàâ
çàêîí, ïî êîòîðîìó ïðåäñòàâëåíèå ãðóïïû Ëè ïîðîæäàåò ïðåäñòàâëåíèå
ñîîòâåòñòâóþùåé åé àëãåáðû Ëè è òàêèì îáðàçîì ìîæíî ïîëó÷èòü âñå
ïðåäñòàâëåíèÿ àëãåáð Ëè.
      Ïóñòü íàì çàäàíî ïðåäñòàâëåíèå                   P ãðóïïû Ëè G k - ðÿäíûìè
îïåðàòîðàìè. Ïðåäñòàâëÿþùóþ ãðóïïó îáîçíà÷èì ÷åðåç                     P(G ) . Àëãåá-
ðó Ëè, ñîîòâåòñòâóþùóþ ãðóïïå G , îáîçíà÷èì ÷åðåç AG .
                  A ïðèíàäëåæèò AG , òî e iA ïðèíàäëåæèò G . Ðàñ-
      Åñëè îïåðàòîð
ñìîòðèì îäíîïàðàìåòðè÷åñêóþ ïîäãðóïïó G , ñîñòîÿùóþ èç îïåðàòî-
ðîâ   e itA , ãäå t - äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî.
      Òàê êàê
       ( )( ) (                ) (        )
       P e it1 A P e it2 A = P e it1 A e it2 A = P e i (t1 +t2 ) A ,
îïåðàòîð P (e ) òîæå îáðàçóåò îäíîïàðàìåòðè÷åñêóþ ïîäãðóïïó ãðóï-
                  itA


ïû P(G ) . Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî â àëãåáðå Ëè ãðóïïû P(G ) ñóùåñòâóåò
                              ~
îäèí, è òîëüêî îäèí, îïåðàòîð A , ïîðîæäàþùèé ýòó ïîäãðóïïó, òî åñòü
óäîâëåòâîðÿþùèé òîæäåñòâó
         ( )
                        ~
       P e itA = e itA .                                                    (6.10.2)
                                                         ~
      Çàìåòèì (áåç äîêàçàòåëüñòâà), ÷òî                  A åñòü êîýôôèöèåíò ïðè it â
ðàçëîæåíèè ïî ñòåïåíÿì                                   ( )
                       t îïåðàòîðà P e itA è (6.10.2) ñïðàâåäëèâî ñ
òî÷íîñòüþ äî ìàëîé âûñøåãî ïîðÿäêà îòíîñèòåëüíî t .
      Ïóñòü

     A = P ( A) ,
     ~ ~
                                                      (6.10.3)
      ~
òîãäà P è åñòü ïðåäñòàâëåíèå àëãåáðû Ëè, ïîðîæä¸ííîå çàäàííûì
                                              ~
ïðåäñòàâëåíèåì ãðóïïû Ëè. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî P óäîâëåòâîðÿþò

Страницы