Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 263 стр.

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263Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï SU(2) è SU(3)
íûìè îïåðàòîðàìè ðàññìàòðèâàåìîé ïîäãðóïïû.
Ïðîèëëþñòðèðóåì ýòîò ìåòîä íà ïðèìåðå ïðåäñòàâëåíèÿ
()
1,1D .
Ðàññìîòðèì âåêòîð
1
2
e , ñîîòâåòñòâóþùèé çíà÷åíèÿì 1
3
=T è 0=
t
Y
.
Åñëè ýòîò âåêòîð íå ïðèíàäëåæèò îïðåäåë¸ííîìó íåïðèâîäèìîìó
ïðåäñòàâëåíèþ, òî îí èìååò âèä ñóììû äâóõ èëè íåñêîëüêèõ âåêòîðîâ,
ïðèíàäëåæàùèõ ðàçëè÷íûì íåïðèâîäèìûì ïðåäñòàâëåíèÿì. Âñå ïîñëå-
äíèå âåêòîðû äîëæíû áûòü ñîáñòâåííûìè âåêòîðàìè îïåðàòîðîâ
3
T è
t
Y
ñ îäíèìè è òåìè æå ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè â ñèëó óñëîâèé
1
2
1
23
ee =T è 0
1
2
=e
t
Y
. Îäíàêî,
1
2
e ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì âåêòîðîì ñî
çíà÷åíèÿìè 1
3
=T è 0=
t
Y
. Ñëåäîâàòåëüíî, îí äîëæåí ïðèíàäëåæàòü
îïðåäåë¸ííîìó íåïðèâîäèìîìó ïðåäñòàâëåíèþ. Äåéñòâóÿ íà ýòîò âåê-
òîð îïåðàòîðàìè
±
T è
3
T ìû ïîëó÷èì áàçèñ ïðåäñòàâëåíèÿ ñ 1
3
=T è
0=
t
Y
1
2
e ,
()
2
2
1
2
2
1
ee
−
,
2
1
e . (9.2.28)
Àíàëîãè÷íî èç
1
3
e ïîëó÷àåì T - ñïèíîð ñ
2
1
=T è 1=
t
Y
1
3
e ,
2
3
e , (9.2.29)
à èç
3
1
e - äðóãîé T - ñïèíîð
2
1
=T è 1−=
t
Y
:
3
2
e ,
3
1
e . (9.2.30)
Ïîñëåäíèé âåêòîð â âûðàæåíèè (9.2.21)
0=T
è 0=
t
Y
:
()
3
3
2
2
1
1
2
6
1
eee
−+
. (9.2.31)
Àíàëîãè÷íî ïðåäñòàâëåíèå
()
1,1D ðàñùåïëÿåòñÿ íà U - èëè V -
ìóëüòèïëåòû:
Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï SU(2) è SU(3)                                               263

íûìè îïåðàòîðàìè ðàññìàòðèâàåìîé ïîäãðóïïû.
       Ïðîèëëþñòðèðóåì ýòîò ìåòîä íà ïðèìåðå ïðåäñòàâëåíèÿ                  D(1,1) .
Ðàññìîòðèì âåêòîð e 2 , ñîîòâåòñòâóþùèé çíà÷åíèÿì T3 = 1 è Y = 0 .
                            1                                              t

     Åñëè ýòîò âåêòîð íå ïðèíàäëåæèò îïðåäåë¸ííîìó íåïðèâîäèìîìó
ïðåäñòàâëåíèþ, òî îí èìååò âèä ñóììû äâóõ èëè íåñêîëüêèõ âåêòîðîâ,
ïðèíàäëåæàùèõ ðàçëè÷íûì íåïðèâîäèìûì ïðåäñòàâëåíèÿì. Âñå ïîñëå-
äíèå âåêòîðû äîëæíû áûòü ñîáñòâåííûìè âåêòîðàìè îïåðàòîðîâ                     T3 è
Y t ñ îäíèìè è òåìè æå ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè â ñèëó óñëîâèé
T3e12 = e12 è Y t e12 = 0 . Îäíàêî, e12 ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì âåêòîðîì ñî
çíà÷åíèÿìè T3 = 1 è Y = 0 . Ñëåäîâàòåëüíî, îí äîëæåí ïðèíàäëåæàòü
                                 t

îïðåäåë¸ííîìó íåïðèâîäèìîìó ïðåäñòàâëåíèþ. Äåéñòâóÿ íà ýòîò âåê-
òîð îïåðàòîðàìè           T± è T3 ìû ïîëó÷èì áàçèñ ïðåäñòàâëåíèÿ ñ T3 = 1 è
Yt = 0

       e12 ,
               1 1
                      (      )
                  e 2 − e 22 , e12 .                                      (9.2.28)
                2
                                                                1
       Àíàëîãè÷íî èç        e13 ïîëó÷àåì T - ñïèíîð ñ T =         è Y =1
                                                                     t

                                                                2
       e13 , e 32 ,                                                       (9.2.29)

à èç   e13 - äðóãîé T - ñïèíîð
               1
       T=        è Y = −1 : e 2 , e1 .
                    t         3    3
                                                                          (9.2.30)
               2
       Ïîñëåäíèé âåêòîð â âûðàæåíèè (9.2.21)

       T =0 è Yt =0:                    (e1 + e2 − 2e33 ).
                                     1 1 2
                                                                          (9.2.31)
                                      6
    Àíàëîãè÷íî ïðåäñòàâëåíèå                    D(1,1) ðàñùåïëÿåòñÿ íà U - èëè V -
ìóëüòèïëåòû:

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