Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 261 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

261Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï SU(2) è SU(3)
êîòîðûå ìû áóäåì íàçûâàòü
U
- è
V
- ïîäãðóïïàìè ñîîòâåòñòâåííî.
Êàæäîå íåïðèâîäèìîå ïðåäñòàâëåíèå ãðóïïû
()
3SU ñîäåðæèò ðàç-
ëè÷íûå íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ îäíîé èç ýòèõ ïîäãðóïï, ïðè÷¸ì
íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ îäíîé ïîäãðóïïû íå ñîâïàäàþò ñ íåïðè-
âîäèìûìè ïðåäñòàâëåíèÿìè äðóãèõ ïîäãðóïï.
Ãåíåðàòîð
82
2
1
λ
=h êîììóòèðóåò ñî âñåìè ãåíåðàòîðàìè T -ïîä-
ãðóïïû è, òàêèì îáðàçîì, â êàæäîì íåïðèâîäèìîì ïðåäñòàâëåíèè
T
-
ïîäãðóïïû èíôèíèòåçèìàëüíûé îïåðàòîð
82
2
1
λ
=H , â ñîîòâåòñòâèè ñ
ïåðâîé ëåììîé Øóðà êðàòåí åäèíèöå. Âñå ñîñòîÿíèÿ îäíîãî T -ìóëüòè-
ïëåòà ñîîòâåòñòâóþò îäíîìó è òîìó æå ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ îïåðà-
òîðà
2
H èëè îïåðàòîðà
82
3
1
3
2
Λ== HY
t
. (9.2.24)
Àíàëîãè÷íî îïåðàòîð
8321
32
1
2
1
3
1
Λ−Λ=−= HHY
u
(9.2.25)
êîììóòèðóåò ñ ãåíåðàòîðàìè
U
-ïîäãðóïïû, à îïåðàòîð
8321
32
1
2
1
3
1
Λ−Λ−=
+−= HHY
v
(9.2.26)
êîììóòèðóåò ñ ãåíåðàòîðàìè
V
-ïîäãðóïïû.
Äëÿ êàæäîãî íåïðèâîäèìîãî ïðåäñòàâëåíèÿ
U
-ïîäãðóïïû (èëè
V
-
ïîäãðóïïû)
u
Y
(èëè
v
Y
) èìååò âïîëíå îïðåäåë¸ííîå çíà÷åíèå.
Ðàññìîòðèì ðàñùåïëåíèå íåêîòîðûõ íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé
ãðóïïû
()
3SU íà íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ å¸ ïîäãðóïï
()
2SU .
Íà÷í¸ì ñ ôóíäàìåíòàëüíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ñ áàçèñàìè
1
e
,
2
e
è
3
e
. Òàê êàê
±
t è
3
t äåéñòâóþò òîëüêî íà
1
e
è
2
e
:
Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï SU(2) è SU(3)                                 261

êîòîðûå ìû áóäåì íàçûâàòü U - è V - ïîäãðóïïàìè ñîîòâåòñòâåííî.
    Êàæäîå íåïðèâîäèìîå ïðåäñòàâëåíèå ãðóïïû SU (3) ñîäåðæèò ðàç-
ëè÷íûå íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ îäíîé èç ýòèõ ïîäãðóïï, ïðè÷¸ì
íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ îäíîé ïîäãðóïïû íå ñîâïàäàþò ñ íåïðè-
âîäèìûìè ïðåäñòàâëåíèÿìè äðóãèõ ïîäãðóïï.
                    1
       Ãåíåðàòîð      λ8 êîììóòèðóåò ñî âñåìè ãåíåðàòîðàìè T -ïîä-
                    h2 =
                    2
ãðóïïû è, òàêèì îáðàçîì, â êàæäîì íåïðèâîäèìîì ïðåäñòàâëåíèè T -
                                             1
ïîäãðóïïû èíôèíèòåçèìàëüíûé îïåðàòîð           λ8 , â ñîîòâåòñòâèè ñ
                                               H2 =
                                             2
ïåðâîé ëåììîé Øóðà êðàòåí åäèíèöå. Âñå ñîñòîÿíèÿ îäíîãî T -ìóëüòè-
ïëåòà ñîîòâåòñòâóþò îäíîìó è òîìó æå ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ îïåðà-
òîðà   H 2 èëè îïåðàòîðà
              2       1
       Yt =      H2 =    Λ8 .                               (9.2.24)
               3       3
       Àíàëîãè÷íî îïåðàòîð
                     1       1      1
       Y u = H1 −       H 2 = Λ3 −     Λ8                   (9.2.25)
                      3      2     2 3
êîììóòèðóåò ñ ãåíåðàòîðàìè U -ïîäãðóïïû, à îïåðàòîð

                    1          1      1
       Y v = − H1 +    H 2  = − Λ3 −     Λ8               (9.2.26)
                     3         2     2 3
êîììóòèðóåò ñ ãåíåðàòîðàìè V -ïîäãðóïïû.
       Äëÿ êàæäîãî íåïðèâîäèìîãî ïðåäñòàâëåíèÿ U -ïîäãðóïïû (èëè V -
                u          v
ïîäãðóïïû) Y (èëè Y ) èìååò âïîëíå îïðåäåë¸ííîå çíà÷åíèå.
     Ðàññìîòðèì ðàñùåïëåíèå íåêîòîðûõ íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé
ãðóïïû   SU (3) íà íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ å¸ ïîäãðóïï SU (2 ).
       Íà÷í¸ì ñ ôóíäàìåíòàëüíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ñ áàçèñàìè   e1 , e 2 è
e 3 . Òàê êàê t ± è t3 äåéñòâóþò òîëüêî íà e1 è e 2 :

Страницы