Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 262 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

262 Ãëàâà äåâÿòàÿ
21
ee =
−
t ;
12
ee =
+
t ;
11
3
ee =t ;
22
3
2
1
ee −=t ; 0
3
3
3
==
±
ee tt ,
òî
1
e
è
2
e
îáðàçóþò íåïðèâîäèìîå ïðåäñòàâëåíèå
T
- ïîäãðóïïû. Ýòî 
ôóíäàìåíòàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå ãðóïïû
()
2SU . Âåêòîð
3
e
ÿâëÿåòñÿ
áàçèñîì îäíîìåðíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ. Ìû ìîæåì ãîâîðèòü, ÷òî ïðåäñòàâ-
ëåíèå
()
0,1D ðàñùåïëÿåòñÿ íà T - ñïèíîð (ñ T - ñïèíîì
2
1
) ñ áàçèñàìè
1
e
è
2
e
è
T
- ñêàëÿð
3
e
(ñ
T
 ñïèíîì 0). Àíàëîãè÷íî îíî ðàñùåïëÿåòñÿ
íà
U
- ñïèíîð (ñ
U
- ñïèíîì
2
1
) ñ áàçèñàìè
1
e è
3
e è
U
- ñêàëÿð
2
e (ñ
U
- ñïèíîì 0) è
V
- ñïèíîð (ñ
V
- ñïèíîì
2
1
) ñ áàçèñàìè
2
e è
3
e è
V
-
ñêàëÿð
1
e
(ñ
V
ñïèíîì 0).
Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî
11
3
1
ee =
t
Y
,
22
3
1
ee =
t
Y
,
33
3
2
ee −=
t
Y
;
11
3
1
ee =
u
Y
,
33
3
1
ee =
u
Y
,
22
3
2
ee −=
u
Y
; (9.2.27)
22
3
1
ee =
v
Y
,
33
3
1
ee =
v
Y
,
11
3
2
ee −=
v
Y
.
Çàìåíÿÿ çíàêè â ïðàâûõ ÷àñòÿõ (9.2.27), ìû ïîëó÷èì ðàñùåïëåíèå â
()
1,0D .
Ðàññìîòðèì ðàñùåïëåíèå âûñøåãî ïðåäñòàâëåíèÿ ñ ïîìîùüþ ñëå-
äóþùåãî ìåòîäà. Âûáåðåì êàêîé-íèáóäü áàçèñíûé âåêòîð, êîòîðûé ïðè-
íàäëåæèò îïðåäåë¸ííîìó íåïðèâîäèìîìó ïðåäñòàâëåíèþ íåêîòîðîé
ïîäãðóïïû. Òàê êàê èíôèíèòåçèìàëüíûå îïåðàòîðû ýòîé ïîäãðóïïû
ïåðåâîäÿò ýòîò âåêòîð â îñòàëüíûå áàçèñíûå âåêòîðû äàííîãî ïðåäñòàâ-
ëåíèÿ èëè èõ êîìáèíàöèè, òî äëÿ ïîëó÷åíèÿ áàçèñà ýòîãî ïðåäñòàâëåíèÿ
äîñòàòî÷íî ïîäåéñòâîâàòü íà âûáðàííûé âåêòîð âñåìè èíôèíèòåçèìàëü-
262                                                                     Ãëàâà äåâÿòàÿ

                                                           1
        t − e1 = e 2 ; t + e 2 = e1 ; t3e1 = e1 ; t3e 2 = − e 2 ; t ± e 3 = t3e 3 = 0 ,
                                                           2
òî   e1 è e 2 îáðàçóþò íåïðèâîäèìîå ïðåäñòàâëåíèå T - ïîäãðóïïû. Ýòî –
ôóíäàìåíòàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå ãðóïïû SU (2 ). Âåêòîð e ÿâëÿåòñÿ
                                                                            3

áàçèñîì îäíîìåðíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ. Ìû ìîæåì ãîâîðèòü, ÷òî ïðåäñòàâ-

         D(1,0 ) ðàñùåïëÿåòñÿ íà T - ñïèíîð (ñ T - ñïèíîì
                                                                        1
ëåíèå                                                                     ) ñ áàçèñàìè
                                                                        2
e1 è e 2 è T - ñêàëÿð e 3 (ñ T – ñïèíîì 0). Àíàëîãè÷íî îíî ðàñùåïëÿåòñÿ
                                      1               1   3              2
íà U - ñïèíîð (ñ U - ñïèíîì             ) ñ áàçèñàìè e è e è U - ñêàëÿð e (ñ
                                      2
                                                      1               2   3
U - ñïèíîì 0) è V - ñïèíîð (ñ V - ñïèíîì                ) ñ áàçèñàìè e è e è V -
                                                      2
           1
ñêàëÿð e (ñ V ñïèíîì 0).
     Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî
               1              1                2
       Y t e1 = e1 , Y t e 2 = e 2 , Y t e3 = − e 3 ;
               3              3                3
               1              1                 2
       Y u e1 = e1 , Y u e 3 = e 3 , Y u e 2 = − e 2 ;                          (9.2.27)
               3              3                 3
                1               1                2
       Y v e 2 = e 2 , Y v e 3 = e 3 , Y v e1 = − e1 .
                3               3                3
       Çàìåíÿÿ çíàêè â ïðàâûõ ÷àñòÿõ (9.2.27), ìû ïîëó÷èì ðàñùåïëåíèå â
D(0,1) .
     Ðàññìîòðèì ðàñùåïëåíèå âûñøåãî ïðåäñòàâëåíèÿ ñ ïîìîùüþ ñëå-
äóþùåãî ìåòîäà. Âûáåðåì êàêîé-íèáóäü áàçèñíûé âåêòîð, êîòîðûé ïðè-
íàäëåæèò îïðåäåë¸ííîìó íåïðèâîäèìîìó ïðåäñòàâëåíèþ íåêîòîðîé
ïîäãðóïïû. Òàê êàê èíôèíèòåçèìàëüíûå îïåðàòîðû ýòîé ïîäãðóïïû
ïåðåâîäÿò ýòîò âåêòîð â îñòàëüíûå áàçèñíûå âåêòîðû äàííîãî ïðåäñòàâ-
ëåíèÿ èëè èõ êîìáèíàöèè, òî äëÿ ïîëó÷åíèÿ áàçèñà ýòîãî ïðåäñòàâëåíèÿ
äîñòàòî÷íî ïîäåéñòâîâàòü íà âûáðàííûé âåêòîð âñåìè èíôèíèòåçèìàëü-

Страницы