Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 259 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

259Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï SU(2) è SU(3)
γ
γ
α
β
γ
γ
α
β
α
β
α
β
δδ
Φ+
Φ−Φ=Φ
3
1
3
1
.
Ñîîòâåòñòâóþùåå ïðîñòðàíñòâî
11
C ñ áàçèñîì
α
β
e , ïðåîáðàçóþ-
ùååñÿ ïî ïðåäñòàâëåíèþ UU ⊗ , ðàçëàãàåòñÿ íà äâà îðòîãîíàëüíûõ
ïîäïðîñòðàíñòâà. Èíâàðèàíòíûé ñïèíîð
α
β
δ
ïðèíàäëåæèò îäíîìåðíî-
ìó ïðåäñòàâëåíèþ ñ áàçèñîì
()
α
β
α
β
δδ
eeee
3
1
3
1
3
3
2
2
1
1
=++=
.
 èñõîäíîì áàçèñå ýòîò âåêòîð èìååò ñëåäóþùèå íåíóëåâûå êîìïî-
íåíòû:
3
1
3
3
2
2
1
1
===
ψψ
ψ
. (9.2.20)
Áàçèñíûå âåêòîðû âî âòîðîì ïîäïðîñòðàíñòâå, ïðåîáðàçóþùåìñÿ
ïî ïðåäñòàâëåíèþ
()
1,1D , îðòîãîíàëüíû âåêòîðó (9.2.20). Ýòîìó óñëî-
âèþ óäîâëåòâîðÿþò øåñòü áàçèñíûõ âåêòîðîâ
α
β
e ñ
βα
≠
. Äâà îñòàëü-
íûõ èìåþò âèä ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé âåêòîðîâ
1
1
e ,
2
2
e è
3
3
e . Ýòè êîì-
áèíàöèè íàäî âûáðàòü òàê, ÷òîáû îíè áûëè îðòîãîíàëüíû äðóã äðóãó.
Ýòèì óñëîâèÿì óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùèå êîìáèíàöèè:
()
2
2
1
1
2
1
ee
−
;
()
3
3
2
2
1
1
2
6
1
eee
−+
.
Òàêèì îáðàçîì, áàçèñû â ïðîñòðàíñòâå
()
1,1D ìîæíî âûáðàòü â
âèäå
1
2
e ,
()
2
2
1
1
2
1
ee
−
,
2
1
e ,
1
3
e ,
2
3
e ,
3
1
e ,
3
2
e ,
()
3
3
2
2
1
1
2
6
1
eee
−+
.
 èñõîäíîì áàçèñå ýòè âåêòîðû èìåþò ñëåäóþùèå íåíóëåâûå êîì-
ïîíåíòû:
1:
2
1
1
2
1
==
ψ
ef ;
Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï SU(2) è SU(3)                                                              259


                   1                          1 α γ
       Φαβ =  Φαβ − δ βα Φ γγ                 + δ β Φγ .
                   3                          3
       Ñîîòâåòñòâóþùåå ïðîñòðàíñòâî                        C1 1 ñ áàçèñîì eαβ , ïðåîáðàçóþ-
ùååñÿ ïî ïðåäñòàâëåíèþ                    U ⊗ U , ðàçëàãàåòñÿ íà äâà îðòîãîíàëüíûõ
ïîäïðîñòðàíñòâà. Èíâàðèàíòíûé ñïèíîð                          δ βα ïðèíàäëåæèò îäíîìåðíî-
ìó ïðåäñòàâëåíèþ ñ áàçèñîì

       δ=             (
                   1 1 2
                      e1 + e 2 + e33 =    )
                                       1 α α
                                          δ β eβ .
                    3                   3
     Â èñõîäíîì áàçèñå ýòîò âåêòîð èìååò ñëåäóþùèå íåíóëåâûå êîìïî-
íåíòû:
                                      1
       ψ 11 = ψ 22 = ψ 33 =              .                                              (9.2.20)
                                       3
       Áàçèñíûå âåêòîðû âî âòîðîì ïîäïðîñòðàíñòâå, ïðåîáðàçóþùåìñÿ
ïî ïðåäñòàâëåíèþ                D(1,1) , îðòîãîíàëüíû âåêòîðó (9.2.20). Ýòîìó óñëî-
âèþ óäîâëåòâîðÿþò øåñòü áàçèñíûõ âåêòîðîâ                         eαβ ñ α ≠ β . Äâà îñòàëü-
íûõ èìåþò âèä ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé âåêòîðîâ                              e11 , e 22 è e33 . Ýòè êîì-
áèíàöèè íàäî âûáðàòü òàê, ÷òîáû îíè áûëè îðòîãîíàëüíû äðóã äðóãó.
Ýòèì óñëîâèÿì óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùèå êîìáèíàöèè:
         1 1 2
               (
            e1 − e 2 ;     )
                       1 1 2
                                      (
                          e1 + e 2 − 2e33 .            )
          2             6
       Òàêèì îáðàçîì, áàçèñû â ïðîñòðàíñòâå                       D(1,1) ìîæíî âûáðàòü â
âèäå

       e12 ,          (
                   1 1 2
                                  )
                      e1 − e 2 , e12 , e13 , e 32 , e13 , e 32 ,    (
                                                                 1 1 2
                                                                    e1 + e 2 − 2e33 .  )
                    2                                             6
     Â èñõîäíîì áàçèñå ýòè âåêòîðû èìåþò ñëåäóþùèå íåíóëåâûå êîì-
ïîíåíòû:
        f 1 = e12 :            ψ 12 = 1 ;

Страницы