Линейные операторы в квантовой механике. Кирсанов А.А. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

4
Примеры линейных операторов:
dx
d
,
∫
dx...
,
yx∂∂
∂
2
, оператор Лапласа
2
2
2
2
2
2
zyx ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∆
.
Одним из видов линейного оператора является оператор ум-
ножения
(
)
zyxVV ,,
€
=
. Действие этого оператора на функцию
(
)
zyxu ,,
состоит в том, что функция
u
умножается на функцию
(
)
zyxV ,,
:
(
)
(
)
zyxuzyxVuV ,,,,
€
⋅=
. (2)
Операторы, изображающие физические величины должны
обладать также свойством самосопряженности или эрмитовости
(Эрмит – французский математик XIX века). Линейный опера-
тор
L
€ называют самосопряженным (эрмитовым), если для лю-
бых функций
1
u
и
2
u
рассматриваемого класса выполняется ра-
венство:
(
)
(
)
(
)
(
)
∫
∫
= dxxuLxudxxuLxu
*
1
*
22
*
1
€€
, (3)
где интегрирование производится по области определения функ-
ций, причём на границе области определения функции
1
u
и
2
u
должны обращаться в нуль. Если функции
1
u
и
2
u
определены в
неограниченной области, то они должны стремиться к нулю при
удалении точки на бесконечность. Значком * обозначены комп-
лексно-сопряженные функции и операторы. Комплексно-сопря-
женный оператор
*
€
L
образуется так же, как комплексно-сопря-
женная величина, т.е. путём замены мнимой единицы
i
в выра-
жении оператора на
i
−
. Очевидно, что оператор умножения на
вещественную функцию
(
)
zyxVV ,,
€
=
является самосопряжен-
ным, так как для вещественных величин
*
VV =
. Легко показать,
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                                                                        4
           Примеры линейных операторов:

    d                     ∂2                         ∂2    ∂2   ∂2
                                                 ∆ =     +    +
    dx
       ,    ∫ ...dx ,    ∂x∂y
                              , оператор Лапласа
                                                     ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
                                                                    .

           Одним из видов линейного оператора является оператор ум-
    ножения V€ = V ( x, y, z ) . Действие этого оператора на функцию
    u ( x, y, z ) состоит в том, что функция u умножается на функцию
    V ( x, y, z ) :
           V€u = V ( x, y, z ) ⋅ u ( x, y , z ) .                (2)
         Операторы, изображающие физические величины должны
    обладать также свойством самосопряженности или эрмитовости
    (Эрмит – французский математик XIX века). Линейный опера-
    тор L€ называют самосопряженным (эрмитовым), если для лю-
    бых функций u1 и u 2 рассматриваемого класса выполняется ра-
    венство:

           ∫ u (x )L€u (x )dx = ∫ u (x )L€ u (x )dx ,
               *                                    * *
               1         2                 2          1          (3)
    где интегрирование производится по области определения функ-
    ций, причём на границе области определения функции u1 и u 2
    должны обращаться в нуль. Если функции u1 и u 2 определены в
    неограниченной области, то они должны стремиться к нулю при
    удалении точки на бесконечность. Значком * обозначены комп-
    лексно-сопряженные функции и операторы. Комплексно-сопря-
    женный оператор L€* образуется так же, как комплексно-сопря-
    женная величина, т.е. путём замены мнимой единицы i в выра-
    жении оператора на − i . Очевидно, что оператор умножения на
    вещественную функцию V€ = V ( x, y, z ) является самосопряжен-
    ным, так как для вещественных величин V = V * . Легко показать,




PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы