Линейные операторы в квантовой механике. Кирсанов А.А. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

6
Очевидно, что сумма операторов обладает свойством аддитив-
ности:
A
B
B
A
€€€€
+
=
+
. (7)
Произведением операторов
B
A
€€ называется оператор
BAC
€
€
€
=
, действие которого на функцию
(
)
xu
определяется ра-
венством
(
)
(
)
(
)
xuBAxuC
€
€
€
=
. (8)
Иначе говоря, действие оператора
C
€
на функцию
(
)
xu
зак-
лючается в том, что сначала на функцию
(
)
xu
действует опера-
тор
B
€ , а затем на полученную в результате действия этого опе-
ратора функцию действует оператор
A
€ . Произведение операто-
ров вообще говоря зависит от порядка сомножителей, т.е. резуль-
тат последовательного действия двух операторов на функцию за-
висит от того, какой из операторов действует в первую очередь.
Рассмотрим, например, произведение оператора умножения
2
€
xA =
и оператора дифференцирования
dx
d
B =
€
. Произведение операто-
ров
B
A
€€ действует на функцию
(
)
xu
так:
()
(
)
dx
xdu
xxuBA
2
€
€
=
. (9а)
С другой стороны
() ()
(
)
()
(
)
dx
xdu
xxxuxux
dx
d
xuAB
22
2
€
€
+==
. (9б)
Мы видим, что
(
)
(
)
xuABxuBA
€
€€
€
≠
, а следовательно и
A
B
B
A
€
€€
€
≠
.
В то же время существуют пары операторов, произведение
которых не зависит от порядка сомножителей:
A
B
B
A
€
€€
€
=
. В этом
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                                                                            6
         Очевидно, что сумма операторов обладает свойством аддитив-
    ности:
          A€ + B€ = B€ + A€ .                                        (7)
         Произведением операторов A€B€ называется оператор

    C€ = A€B€ , действие которого на функцию u ( x ) определяется ра-
    венством
                        (        )
          C€u ( x ) = A€ B€u ( x ) .                                 (8)
         Иначе говоря, действие оператора C€ на функцию u ( x ) зак-
    лючается в том, что сначала на функцию u ( x ) действует опера-
    тор B€ , а затем на полученную в результате действия этого опе-
    ратора функцию действует оператор A€ . Произведение операто-
    ров вообще говоря зависит от порядка сомножителей, т.е. резуль-
    тат последовательного действия двух операторов на функцию за-
    висит от того, какой из операторов действует в первую очередь.
    Рассмотрим, например, произведение оператора умножения A€ = x 2
                                       d
    и оператора дифференцирования B€ =   . Произведение операто-
                                                       dx
    ров A€B€ действует на функцию u ( x ) так:
                            du (x )
          A€B€u ( x ) = x 2         .                                (9а)
                             dx
         С другой стороны
                                                        du ( x )
          B€A€u ( x ) =
                        d 2
                        dx
                            (           )
                           x u ( x ) = 2 xu ( x ) + x 2
                                                         dx
                                                                 .   (9б)

         Мы видим, что A€B€u (x ) ≠ B€A€u ( x ) , а следовательно и

    A€B€ ≠ B€A€ .
         В то же время существуют пары операторов, произведение
    которых не зависит от порядка сомножителей: A€B€ = B€A€ . В этом



PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы