Линейные операторы в квантовой механике. Кирсанов А.А. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

7
случае говорят, что операторы
A
€ и
B
€ коммутируют. Например, опе-
раторы
x
A
∂
∂
=
€
и
y
B
∂
∂
=
€
при действии на функцию двух перемен-
ных
(
)
yxu ,
коммутируют, поскольку смешанные производные не за-
висят от порядка дифференцирования.
Суммы операторов можно перемножать также, как перемно-
жаются многочлены, но при этом следует помнить, что произве-
дение операторов вообще говоря, зависит от порядка сомножи-
телей, а потому в полученном произведении операторов нельзя
считать подобными члены, отличающиеся порядком входящих в
них сомножителей. Например, при перемножении операторов
B
A
€€
+
и
B
A
€€
−
члены
B
A
€€
−
и
A
B
€€ взаимно не уничтожаются:
(
)
(
)
22
€
€
€€
€
€
€
€
€
€
BABBAABABA ++−=−⋅+
. (10)
Оператор
A
B
B
A
€€€€
−
называется коммутатором операторов
A
€
и
B
€
и обозначается
[
]
BA
€
€
.
Рассмотрим теперь очень важные для квантовой механики
понятия собственных функций и собственных значений линей-
ного самосопряженного оператора.
Если при действии оператора
€ на функцию
(
)
xu
получается
та же функция, умноженная на некоторый множитель
λ
, т.е.
(
)
(
)
xuxuL λ=
€
, (11)
то функция
(
)
xu
называется собственной функцией оператора
€,
а множитель
λ
собственным значением данного оператора. На-
пример, функция
x3cos
является собственной функцией опера-
тора
2
2
dx
d
при собственном значении
9
−
=
λ
, так как
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                                                                     7
    случае говорят, что операторы A€ и B€ коммутируют. Например, опе-

                ∂   € ∂
    раторы A€ =   и B=  при действии на функцию двух перемен-
                     ∂x             ∂y
    ных u ( x, y ) коммутируют, поскольку смешанные производные не за-
    висят от порядка дифференцирования.
         Суммы операторов можно перемножать также, как перемно-
    жаются многочлены, но при этом следует помнить, что произве-
    дение операторов вообще говоря, зависит от порядка сомножи-
    телей, а потому в полученном произведении операторов нельзя
    считать подобными члены, отличающиеся порядком входящих в
    них сомножителей. Например, при перемножении операторов
    A€ + B€ и A€ − B€ члены − A€B€ и B€A€ взаимно не уничтожаются:
           (        )(          )
           A€ + B€ ⋅ A€ − B€ = A€2 − A€B€ + B€A€ + B€2 .      (10)

           Оператор A€B€ − B€A€ называется коммутатором операторов
    A€ и B€ и обозначается A€B€ .    [ ]
        Рассмотрим теперь очень важные для квантовой механики
    понятия собственных функций и собственных значений линей-
    ного самосопряженного оператора.
         Если при действии оператора L€ на функцию u ( x ) получается
    та же функция, умноженная на некоторый множитель λ , т.е.
           L€u ( x ) = λu ( x ) ,                             (11)
    то функция u ( x ) называется собственной функцией оператора L€ ,
    а множитель λ собственным значением данного оператора. На-
    пример, функция cos 3 x является собственной функцией опера-

           d2
    тора        при собственном значении λ = −9 , так как
           dx 2




PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы