Линейные операторы в квантовой механике. Кирсанов А.А. - 9 стр.

                                                                         9
    умножая собственные функции на константы и образуя их линейные
    комбинации всегда можно получить бесконечное число собственных
    функций, относящихся к данному собственному значению. Можно,
    однако, поставить вопрос: сколько линейно независимых собствен-
    ных существует для данного собственного значения? Напомним, что
    функции u1 , u 2 ,..., u n называются линейно независимыми, если тож-
    дество
         c1u1 + c 2u 2 + ... + cn u n ≡ 0                        (13)
    имеет место тогда и только тогда, когда все коэффициенты ci
    равны нулю. Общий ответ на поставленный вопрос в рамках дан-
    ного курса дать нельзя, так как для этого требуется знание тео-
    рии групп. Обычно каждому собственному значению соответству-
    ет либо одна, либо несколько линейно независимых функций.
    Собственное значение, которому соответствует одна линейно
    независимая функция, называется простым. Если же собственно-
    му значению соответствуют n линейно независимых собствен-
    ных функций, то такое собственное значение называется крат-
    ным или вырожденным, а число n называется кратностью или
    степенью вырождения собственного значения.
         Докажем теперь два важных свойства собственных функций
    и собственных значений самосопряженных операторов.
         Свойство I. Собственные значения самосопряженных опе-
    раторов вещественны.
         Доказательство. Напишем равенство, комплексно-сопряжен-
    ное равенству (11):
         L€*u * ( x ) = λ*u * ( x ) .                            (14)
         Умножим слева равенство (11) на u * , а равенство (14) на u .

         u * ( x )L€u ( x ) = u * ( x )λu ( x ) ,
         u ( x )L€*u * ( x ) = u ( x )λ*u * ( x ) .
         Вычтем из первого полученного равенства второе и проин-
    тегрируем по области определения функции u :




PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com