Линейные операторы в квантовой механике. Кирсанов А.А. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

10
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
∫
∫
λ−λ=− dxxuxudxxuLxuxuLxu
*****
€
.(15)
Согласно определению эрмитовости (3) (где надо положить
uuu ==
21
) левая часть равенства (15) обращается в нуль. В пра-
вой части (15)
∫
dxuu
*
может быть равен нулю только если
0
≡
u
,
так как
0
2
*
≥= uuu
. Этот тривиальный случай не представляет
для нас интереса, поэтому будем считать, что
∫
> 0
*
dxuu
. Тогда
равенство (15) выполняется, если
*
λ=λ
, т.е. если
λ
веществен-
ная величина, что и требовалось доказать.
Прежде чем рассмотреть второе свойство дадим следующее
определение.
Функции
1
u
и
2
u
- называются ортогональными, если вы-
полняется равенство
(
)
(
)
0
2
*
1
=
∫
dxxuxu
, (16)
где интегрирование выполняется по всей области определе-
ния функций.
При этом интеграл
(
)
(
)
∫
dxxuxu
2
*
1
называется скалярным
произведением функций. По аналогии со скалярным произведе-
нием векторов этот интеграл записывается в виде
(
)
21
,uu
.
Свойство II. Собственные функции оператора
L
€
, относящи-
еся к различным собственным значениям, ортогональны друг к
другу.
Доказательство. Пусть
1
u
и
2
u
- собственные функции, от-
носящиеся к собственным значениям
1
λ
и
2
λ
оператора
L
€:
111
€
uuL λ=
, (17а)
222
€
uuL λ=
. (17б)
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                                                                                10

         ∫ (u (x )L€u(x ) − u(x )L u (x ))dx = (λ − λ )∫ u(x )u (x )dx . (15)
             *                    * *                 *        *


        Согласно определению эрмитовости (3) (где надо положить
    u1 = u 2 = u ) левая часть равенства (15) обращается в нуль. В пра-

                        ∫ uu dx может быть равен нулю только если u ≡ 0 ,
                             *
    вой части (15)

    так как uu * = u ≥ 0 . Этот тривиальный случай не представляет
                         2




                                                           ∫ uu dx > 0 . Тогда
                                                                   *
    для нас интереса, поэтому будем считать, что
    равенство (15) выполняется, если λ = λ* , т.е. если λ веществен-
    ная величина, что и требовалось доказать.
         Прежде чем рассмотреть второе свойство дадим следующее
    определение.
        Функции u1 и u 2 - называются ортогональными, если вы-
    полняется равенство

         ∫ u (x )u (x )dx = 0 ,
            *
            1       2                                                   (16)
    где интегрирование выполняется по всей области определе-
    ния функций.

                                   ∫ u (x )u (x )dx
                                        *
        При этом интеграл               1   2         называется скалярным
    произведением функций. По аналогии со скалярным произведе-
    нием векторов этот интеграл записывается в виде (u1 ,u 2 ) .
         Свойство II. Собственные функции оператора L€ , относящи-
    еся к различным собственным значениям, ортогональны друг к
    другу.
        Доказательство. Пусть u1 и u 2 - собственные функции, от-
    носящиеся к собственным значениям λ1 и λ 2 оператора L€ :

         L€u1 = λ1u1 ,                                                  (17а)

         L€u 2 = λ 2 u 2 .                                              (17б)




PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы