Линейные операторы в квантовой механике. Кирсанов А.А. - 11 стр.

                                                                          11
         Запишем равенство, комплексно сопряженное равенству (17а),
    умножив его на u 2

         u 2 L€*u1* = u 2 λ*1u1* ,,
    затем (17б) умножим на u1*

         u1* L€u 2 = u1*λ 2 u 2 .
         Вычтем полученные равенства и проинтегрируем их разность
    по области определения функций u1 и u 2 :

         ∫ u L€ u dx − ∫ u L€u dx = (λ        − λ )∫ u1*u 2 dx .
                 *   *         *          *
             2       1         1      2   1                        (18)
         Левая часть по определению (3) равна нулю. В правой части
    по условию λ*1 − λ 2 = λ1 − λ 2 ≠ 0 .
         Поэтому получаем

         ∫ u u dx = 0 ,
            *
            1 2                                                    (19)
    что и требовалось доказать.
         Собственные функции, относящиеся к одному и тому же соб-
    ственному значению оператора L€ , вообще говоря не являются
    ортогональными. Мы отмечали выше, что любая линейная ком-
    бинация собственных функций, относящихся к одному и тому же
    собственному значению, так же является собственной функцией.
    Поэтому вместо n исходных линейно-независимых собственных
    функций можно построить n других, так же линейно-независи-
    мых собственных функций. Можно доказать, что всегда можно
    выбрать взаимно-ортогональные линейные комбинации соб-
    ственных функций. Таким образом, собственные функции, отно-
    сящиеся к разным собственным значениям ортогональны авто-
    матически, а собственные функции, относящиеся к одному и тому
    собственному значению могут быть выбраны ортогональными.
    Следовательно, все собственные функции эрмитового оператора
    могут быть выбраны ортогональными. Каждая собственная фун-
    кция может быть умножена на такой множитель, чтобы выпол-
    нялось условие



PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com